Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. A EDO é
Informações dadas e o que se pede:
- Equação linear não-homogênea de segunda ordem com termos à direita
e . - Pedir-se a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Encontre a solução da equação homogênea associada:
Para isso montamos a equação característica. Sejam raízes
tal que
Resolvendo,
logo
é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos encontrar uma solução particular
para a parte não-homogênea. O lado direito é soma de dois termos:
e
. Pelo princípio da superposição procuramos
como soma de duas partes:
onde
resolve
e
resolve
.
Antes de escolher o formato de
, aplicamos a regra do Método dos Coeficientes Indeterminados:
- Para um termo do tipo
(polinômio de grau vezes exponencial ), a tentativa padrão é vezes um polinômio de grau . - Se
é raiz da equação característica com multiplicidade , então é preciso multiplicar a tentativa por .
Aqui o termo é
(polinômio de grau
com
). Como
é raiz da característica com multiplicidade
, multiplicamos por
. Portanto a forma apropriada para
é
onde
é um polinômio de grau
. Podemos escrever
com coeficientes desconhecidos a determinar.
Passo 4
Calcule
aplicado a
. Vamos usar derivadas:
Então
Observação importante (e útil): para este operador e para o fator
com multiplicidade dupla, tudo se reduz a
. Isso simplifica muito o cálculo.
Passo 5
Queremos que
. Usando o resultado anterior,
Agora integramos duas vezes para achar
. Integração:
As constantes
produzem termos
em
, mas esses termos pertencem ao espaço das soluções da homogênea
. Como nós queremos uma única particular, podemos escolher
(esses graus de liberdade serão absorvidos pelas constantes
de
). Assim uma escolha conveniente de
é
Portanto podemos tomar
Passo 6
Agora encontramos
que resolva
. Como o lado direito é constante, tentamos um particular constante:
Calculando o operador,
Queremos
. Logo
Passo 7
Temos a solução geral da homogênea
(Passo 2) e uma particular
(Passos 5 e 6). A solução geral da EDO é a soma dessas partes (a soma será escrita apenas na seção de resposta final).