Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. A EDO é
y'' - 2y' + y = x e^{x} + 4.
Informações dadas e o que se pede:
  • Equação linear não-homogênea de segunda ordem com termos à direita x e^{x} e 4.
  • Pedir-se a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Encontre a solução da equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0.
Para isso montamos a equação característica. Sejam raízes r tal que
r^2 - 2r + 1 = 0.
Resolvendo,
(r-1)^2 = 0,
logo r=1 é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz dupla r=1 a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos encontrar uma solução particular y_p para a parte não-homogênea. O lado direito é soma de dois termos: x e^{x} e 4. Pelo princípio da superposição procuramos y_p como soma de duas partes:
y_p = y_{p1} + y_{p2},
onde y_{p1} resolve y''-2y'+y = x e^{x} e y_{p2} resolve y''-2y'+y = 4.
Antes de escolher o formato de y_{p1}, aplicamos a regra do Método dos Coeficientes Indeterminados:
  • Para um termo do tipo P_n(x)e^{a x} (polinômio de grau n vezes exponencial e^{a x}), a tentativa padrão é e^{a x} vezes um polinômio de grau n.
  • Se a é raiz da equação característica com multiplicidade s, então é preciso multiplicar a tentativa por x^{s}.
Aqui o termo é x e^{x} (polinômio de grau 1 com a=1). Como a=1 é raiz da característica com multiplicidade s=2, multiplicamos por x^{2}. Portanto a forma apropriada para y_{p1} é
y_{p1}(x) = e^{x} P(x),
onde P(x) é um polinômio de grau 1 + 2 = 3. Podemos escrever
P(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x + D,
com coeficientes desconhecidos a determinar.

Passo 4

Calcule L[y]=y''-2y'+y aplicado a y_{p1}=e^{x}P(x). Vamos usar derivadas:
y_{p1}' = e^{x}(P+P'), \qquad y_{p1}'' = e^{x}(P + 2P' + P'').
Então
\begin{aligned} L[y_{p1}] &= y_{p1}'' - 2y_{p1}' + y_{p1} \\\ &= e^{x}\big(P + 2P' + P''\big) - 2e^{x}\big(P+P'\big) + e^{x}P \\\ &= e^{x}\big(P + 2P' + P'' -2P -2P' + P\big) \\\ &= e^{x} P''. \end{aligned}
Observação importante (e útil): para este operador e para o fator e^{x} com multiplicidade dupla, tudo se reduz a e^{x}P''(x). Isso simplifica muito o cálculo.

Passo 5

Queremos que L[y_{p1}] = x e^{x}. Usando o resultado anterior,
e^{x} P''(x) = x e^{x} \quad\Rightarrow\quad P''(x) = x.
Agora integramos duas vezes para achar P. Integração:
P'(x) = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + c_1,
P(x) = \int\!\left(\frac{x^{2}}{2} + c_1\right)dx = \frac{x^{3}}{6} + c_1 x + c_2.
As constantes c_1,c_2 produzem termos e^{x}(c_1 x + c_2) em y_{p1}, mas esses termos pertencem ao espaço das soluções da homogênea y_h. Como nós queremos uma única particular, podemos escolher c_1=c_2=0 (esses graus de liberdade serão absorvidos pelas constantes C_1,C_2 de y_h). Assim uma escolha conveniente de P é
P(x)=\frac{x^{3}}{6}.
Portanto podemos tomar
y_{p1}(x) = \frac{1}{6} x^{3} e^{x}.

Passo 6

Agora encontramos y_{p2} que resolva y''-2y'+y=4. Como o lado direito é constante, tentamos um particular constante:
y_{p2}(x)=K.
Calculando o operador,
L[K] = 0 - 0 + K = K.
Queremos K=4. Logo
y_{p2}(x)=4.

Passo 7

Temos a solução geral da homogênea y_h(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} (Passo 2) e uma particular y_p(x)=y_{p1}+y_{p2}=\dfrac{1}{6}x^{3}e^{x}+4 (Passos 5 e 6). A solução geral da EDO é a soma dessas partes (a soma será escrita apenas na seção de resposta final).

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+\frac{1}{6}x^{3}e^{x}+4.

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