Ache a EDO
que possui as seguites soluções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
que possui como soluções as funções
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Duas soluções independentes são
e . - Os coeficientes
e são constantes reais a determinar.
Passo 2
Lembrete rápido e método: para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes
procuramos soluções do tipo
. Substituindo dá a equação característica (polinômio característico)
As raízes
desse polinômio determinam as soluções. Em particular:
- Se
é raiz simples, uma solução é . - Se
é raiz dupla (multiplicidade 2), as duas soluções linearmente independentes são e .
Como aqui aparecem
e
, isso indica que a raiz característica é
com multiplicidade 2.
Passo 3
Se a raiz dupla é
, o polinômio característico deve ser
. Assim:
Comparando com
obtemos os coeficientes:
Passo 4
Portanto a EDO procurada é
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova): tomar
.
- Para
: se satisfaz o polinômio característico; com os encontrados vale . - Para
: calcular e . Substituindo em obtemos
O termo com
anula-se porque
satisfaz o polinômio característico, e o termo restante exige
, isto é
, o que coincide com
. Assim ambas as funções são de fato soluções.