Ache a EDO y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0 que possui as seguites soluções:
{\exp (x \sqrt{3}), x \exp (x \sqrt{3})}\

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+a y'+b y=0
que possui como soluções as funções \exp(x\sqrt{3}) e x\exp(x\sqrt{3}).
Informações dadas:
  • Duas soluções independentes são \exp(x\sqrt{3}) e x\exp(x\sqrt{3}).
  • Os coeficientes a e b são constantes reais a determinar.

Passo 2

Lembrete rápido e método: para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes
y''+a y'+b y=0
procuramos soluções do tipo y=\exp(r x). Substituindo dá a equação característica (polinômio característico)
r^{2}+a r+b=0.
As raízes r desse polinômio determinam as soluções. Em particular:
  • Se r é raiz simples, uma solução é \exp(r x).
  • Se r é raiz dupla (multiplicidade 2), as duas soluções linearmente independentes são \exp(r x) e x\exp(r x).
Como aqui aparecem \exp(x\sqrt{3}) e x\exp(x\sqrt{3}), isso indica que a raiz característica é \,r_{0}=\sqrt{3}\, com multiplicidade 2.

Passo 3

Se a raiz dupla é r_{0}=\sqrt{3}, o polinômio característico deve ser (r-r_{0})^{2}. Assim:
(r-\sqrt{3})^{2}=r^{2}-2\sqrt{3}\,r+3.
Comparando com r^{2}+a r+b obtemos os coeficientes:
a=-2\sqrt{3},\qquad b=3.

Passo 4

Portanto a EDO procurada é
y''-2\sqrt{3}\,y'+3y=0.

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova): tomar r=\sqrt{3}.
  • Para y=\exp(r x): y''+a y'+b y=(r^{2}+a r+b)\exp(r x)=0 se r satisfaz o polinômio característico; com os a,b encontrados vale r^{2}+a r+b=0.
  • Para y=x\exp(r x): calcular y'=(1+rx)\exp(r x) e y''=(2r+r^{2}x)\exp(r x). Substituindo em y''+a y'+b y obtemos
\exp(r x)\big(2r+a + x(r^{2}+a r+b)\big).
O termo com x anula-se porque r satisfaz o polinômio característico, e o termo restante exige 2r+a=0, isto é a=-2r, o que coincide com a=-2\sqrt{3}. Assim ambas as funções são de fato soluções.

Resposta

y''-2\sqrt{3}\,y'+3y=0

Exercícios relacionados