Ache d yd x e d^2 yd x^2 sem eliminar o parâmetro.
ll a) x=3 t, y=2 t^2 & b) x=1-t^2, y=1+t c) x=t^2 e^t, y=t ln t & d) x=e^2 t, y=1+cos t e) x=a cos t, y=b sen t & f) x=a cosh t, y=b senh t

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de x = 3t, y = 2t^2 em relação a usando equações paramétricas, ou seja, sem eliminar o parâmetro . Vamos focar na parte a) do exercício:
Aqui, e são expressos em função do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como achar dydx = dydtdxdt quando temos e em função de . A fórmula é:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando dxdt = ddt(3t) = 3 :

Passo 4

Calculando dydt = ddt(2t^2) = 4t :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada:
dydx = 4t3

Passo 6

Para achar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) div dxdt , usamos a seguinte relação:
ddt(4t3) = 43
Primeiro, vamos derivar d^2ydx^2 = 4/33 = 49 em relação a :
Agora, dividimos pelo que já sabemos ser 3:

Resposta

dydx = 4t3 e d^2 yd x^2 = 49

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