Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
& a) x=t^2+t, y=t^2-t & b) x=4 t^2-4 t, y=1-4 t^2 & c) x=3 a t1+t^3, y=3 a t^21+t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, aos gráficos das equações paramétricas dadas. Vamos trabalhar com as partes a), b) e c). Para isso, vamos precisar entender como encontrar as derivadas paramétricas e identificar onde elas anulam ou não para determinar as tangentes horizontais e verticais.

Passo 2

Parte a)
As equações paramétricas são:
x = t^2 + t y = t^2 - t
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de dxdt = 2t + 1 dydt = 2t - 1 e em relação a :

Passo 3

Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a derivada 2t - 1 = 0 Rightarrow t = 12 e dxdt = 2(12) + 1 = 1 + 1 = 2 neq 0 .
Resolvendo :
Agora, verificamos nesse valor:
Então, existe uma reta tangente horizontal quando .

Passo 4

Agora, encontramos as coordenadas x = (12)^2 + 12 = 14 + 12 = 34 y = (12)^2 - 12 = 14 - 12 = -14 nesse valor de y = -14 :
Como a tangente é horizontal, a reta tem a forma . Portanto, a reta tangente horizontal é:

Passo 5

Para encontrar as retas tangentes verticais, precisamos que 2t + 1 = 0 Rightarrow t = -12 e dydt = 2(-12) - 1 = -1 - 1 = -2 neq 0 .
Resolvendo :
Verificamos nesse valor:
Então, existe uma reta tangente vertical quando .

Passo 6

Encontramos as coordenadas x = (-12)^2 + (-12) = 14 - 12 = -14 y = (-12)^2 - (-12) = 14 + 12 = 34 nesse valor de x = -14 :
Como a tangente é vertical, a reta tem a forma . Portanto, a reta tangente vertical é:

Passo 7

Resposta da Parte a):
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

Passo 8

Parte b)
As equações paramétricas são:
x = 4t^2 - 4t y = 1 - 4t^2
Primeiro, vamos calcular as derivadas:
dxdt = 8t - 4 dydt = -8t

Passo 9

Para as retas tangentes horizontais, t = 0 e dxdt = 8(0) - 4 = -4 neq 0 .
Resolvendo :
Verificamos :
Então, existe uma reta tangente horizontal quando .

Passo 10

Encontramos as coordenadas x = 4(0)^2 - 4(0) = 0 y = 1 - 4(0)^2 = 1 nesse valor de y = 1 :
A reta tangente horizontal é:

Passo 11

Para as retas tangentes verticais, 8t - 4 = 0 Rightarrow t = 48 = 12 e dydt = -8(12) = -4 neq 0 .
Resolvendo :
Verificamos :
Então, existe uma reta tangente vertical quando .

Passo 12

Encontramos as coordenadas x = 4(12)^2 - 4(12) = 4(14) - 2 = 1 - 2 = -1 y = 1 - 4(12)^2 = 1 - 4(14) = 1 - 1 = 0 nesse valor de x = -1 :
A reta tangente vertical é:

Passo 13

Resposta da Parte b):
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

Passo 14

Parte c)
As equações paramétricas são:
x = 3a t1 + t^3 y = 3a t^21 + t^3
Primeiro, vamos calcular as derivadas usando a regra da derivada de quociente:
dxdt = 3a(1 + t^3) - 3a t cdot 3t^2(1 + t^3)^2 = 3a(1 + t^3 - 3t^3)(1 + t^3)^2 = 3a(1 - 2t^3)(1 + t^3)^2 dydt = 6a t(1 + t^3) - 3a t^2 cdot 3t^2(1 + t^3)^2 = 6a t(1 + t^3) - 9a t^4(1 + t^3)^2 = 6a t + 6a t^4 - 9a t^4(1 + t^3)^2 = 6a t - 3a t^4(1 + t^3)^2

Passo 15

Para as retas tangentes horizontais, 3a t(2 - t^3) = 0 Rightarrow t = 0 ou t^3 = 2 Rightarrow t = raiz[3]2 e dxdt = 3a(1 - 0)(1 + 0)^2 = 3a neq 0 .
Resolvendo dxdt = 3a(1 - 2(raiz[3]2)^3)(1 + (raiz[3]2)^3)^2 = 3a(1 - 2 cdot 2)(1 + 2)^2 = 3a(1 - 4)9 = -9a9 = -a neq 0 :
Verificamos para cada caso:
  • Para :
  • Para :
Então, existem retas tangentes horizontais para e .

Passo 16

Encontramos as coordenadas x = 3a cdot 01 + 0 = 0 y = 3a cdot 0^21 + 0 = 0 nos valores de y = 0 :
  • Para x = 3a cdot raiz[3]21 + (raiz[3]2)^3 = 3a cdot raiz[3]21 + 2 = 3a cdot raiz[3]23 = a cdot raiz[3]2 y = 3a (raiz[3]2)^21 + 2 = 3a cdot raiz[3]43 = a cdot raiz[3]4 :
y = a cdot raiz[3]4
A reta tangente horizontal é:
  • Para :
A reta tangente horizontal é:

Passo 17

Para as retas tangentes verticais, 1 - 2t^3 = 0 Rightarrow t^3 = 12 Rightarrow t = raiz[3]12 e dydt = 6a cdot raiz[3]12 - 3a (raiz[3]12)^4(1 + (raiz[3]12)^3)^2 neq 0 .
Resolvendo :
Verificamos nesse valor:
Então, existe uma reta tangente vertical para .

Passo 18

Encontramos as coordenadas x = 3a cdot raiz[3]121 + (raiz[3]12)^3 = 3a cdot raiz[3]121 + 12 = 3a cdot raiz[3]1232 = 2a cdot raiz[3]12 y = 3a cdot (raiz[3]12)^21 + 12 = 3a cdot raiz[3]1432 = 2a cdot raiz[3]14 nesse valor de x = 2a cdot raiz[3]12 :
A reta tangente vertical é:

Passo 19

Resposta da Parte c):
  • Retas tangentes horizontais:
  • Reta tangente vertical:

Resposta

As retas tangentes, horizontais e verticais, para cada parte são:
a)
  • Horizontal:
  • Vertical:
b)
  • Horizontal:
  • Vertical:
c)
  • Horizontais:
  • Vertical:

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