ache a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços.
\left[\begin{array}{ccc}6 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & -8 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços da matriz
A=\begin{pmatrix}6 & 3 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & -8 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas (copiando da própria matriz): os elementos de A são os entrados acima. O que precisamos achar são: a equação característica p(\lambda)=\det(A-\lambda I), os valores de \lambda que anulam p(\lambda) (autovalores) e, para cada autovalor, uma base do espaço de vetores v que satisfazem (A-\lambda I)v=0 (autoespaço).]

Passo 2

Definição e primeiro passo para montar a equação característica. A equação característica é obtida calculando o determinante de A-\lambda I, onde I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}6-\lambda & 3 & 0 \\[4pt] 1 & -\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -8 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Agora vamos calcular o determinante dessa matriz. Vou expandir pelo elemento da primeira linha para ficar claro passo a passo.]

Passo 3

Cálculo detalhado do determinante por expansão na primeira linha. Usamos a fórmula da expansão:
\det(A-\lambda I)=(6-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & -2 \\[4pt] -8 & 3-\lambda\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calculamos os dois determinantes 2\times2:
Primeiro:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & -2 \\[4pt] -8 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(3-\lambda) - (-2)(-8).
Faço as contas passo a passo:
(-\lambda)(3-\lambda)= -3\lambda +\lambda^2,
e
(-2)(-8)=16.
Então
(-\lambda)(3-\lambda)-16 = \lambda^2 -3\lambda -16.
Segundo:
\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix} = 1\cdot(3-\lambda)-(-2)\cdot 0 = 3-\lambda.
Substituindo de volta na expansão:
\det(A-\lambda I) = (6-\lambda)\bigl(\lambda^2 -3\lambda -16\bigr) -3(3-\lambda).
Agora expandimos e simplificamos cada termo:
(6-\lambda)(\lambda^2 -3\lambda -16) = 6\lambda^2 -18\lambda -96 -\lambda^3 +3\lambda^2 +16\lambda.
Somando os coeficientes:
= -\lambda^3 +9\lambda^2 -2\lambda -96.
Subtraindo 3(3-\lambda)=9-3\lambda (note o sinal negativo no desenvolvimento original), temos:
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +9\lambda^2 -2\lambda -96 -9 +3\lambda.
Agrupando termos semelhantes:
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +9\lambda^2 +\lambda -105.
Multiplicando por -1 para obter a forma padrão (coeficiente líder positivo):
p(\lambda)=\lambda^3 -9\lambda^2 -\lambda +105.
Essa é a equação característica.]

Passo 4

Encontrando os autovalores: queremos as raízes de p(\lambda)=0. Pelo Teorema dos zeros racionais, testamos divisores de 105: \pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 7,\pm 15,\pm 21,\pm 35,\pm 105. Testando \lambda=5:
p(5)=5^3 -9\cdot5^2 -5 +105 =125 -225 -5 +105 =0.
Portanto \lambda=5 é raiz. Fazemos a divisão de polinômios para fatorar p(\lambda) por \lambda-5. Dividindo
\lambda^3 -9\lambda^2 -\lambda +105 \div (\lambda-5)
(pela divisão sintética ou longa) obtemos o quociente
\lambda^2 -4\lambda -21.
O restante é zero porque \lambda=5 é raiz. Agora fatoramos a quadrática:
\lambda^2 -4\lambda -21 = (\lambda-7)(\lambda+3).
Logo a fatoração completa é
p(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda-7)(\lambda+3).
Portanto os autovalores são
\lambda=5,\qquad \lambda=7,\qquad \lambda=-3.

Passo 5

Encontrando a base do autoespaço associado a \lambda=5\). Resolvemos \((A-5I)v=0\). Primeiro escrevemos a matriz: \[A-5I=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\[4pt] 1 & -5 & -2 \\[4pt] 0 & -8 & -2\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema homogêneo é:
\begin{cases} x + 3y + 0z = 0,\\[4pt] x -5y -2z = 0,\\[4pt] -8y -2z = 0. \end{cases}
Da terceira equação: -8y-2z=0 \Rightarrow 4y+z=0 \Rightarrow z=-4y.\] Da primeira: \(x = -3y. Substituindo em segunda (só para checar consistência):
(-3y)-5y -2(-4y) = -8y +8y = 0,
que é satisfeito para qualquer y. Ou seja, há um grau de liberdade: tomo y=t. Assim
v = t(-3,1,-4).
Escolhemos como base do autoespaço para \lambda=5 o vetor (-3,1,-4).]

Passo 6

Encontrando a base do autoespaço associado a \lambda=7\). Resolvemos \((A-7I)v=0\). A matriz é \[A-7I=\begin{pmatrix}-1 & 3 & 0 \\[4pt] 1 & -7 & -2 \\[4pt] 0 & -8 & -4\end{pmatrix}.
O sistema para v=(x,y,z)^T é:
\begin{cases} - x + 3y = 0,\\[4pt] x -7y -2z = 0,\\[4pt] -8y -4z = 0. \end{cases}
Da primeira equação: x=3y.\] Da terceira: \(-8y -4z=0 \Rightarrow 2y+z=0 \Rightarrow z=-2y. Substituindo em segunda para checar:
3y -7y -2(-2y) = -4y +4y = 0,
consistente. Tomando y=t obtemos
v = t(3,1,-2).
Logo uma base do autoespaço para \lambda=7 é (3,1,-2).]

Passo 7

Encontrando a base do autoespaço associado a \lambda=-3\). Resolvemos \((A+3I)v=0\). A matriz é \[A+3I=\begin{pmatrix}9 & 3 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -8 & 6\end{pmatrix}.
O sistema para v=(x,y,z)^T é:
\begin{cases} 9x + 3y = 0,\\[4pt] x + 3y -2z = 0,\\[4pt] -8y + 6z = 0. \end{cases}
Da primeira equação: 3x + y = 0 \Rightarrow y=-3x.\] Da terceira: \(-8y +6z=0 \Rightarrow 6z = 8y \Rightarrow z=\tfrac{4}{3}y. Substituindo y=-3x em z:
z = \tfrac{4}{3}(-3x) = -4x.
Verificamos na segunda equação:
x + 3(-3x) -2(-4x) = x -9x +8x =0,
consistente. Tomando x=t obtemos
v = t(1,-3,-4).
Então uma base do autoespaço para \lambda=-3 é (1,-3,-4).]

Resposta

p(\lambda)=\lambda^3 -9\lambda^2 -\lambda +105 = (\lambda-5)(\lambda-7)(\lambda+3)
\lambda=5 com base do autoespaço \{(-3,1,-4)\}
\lambda=7 com base do autoespaço \{(3,1,-2)\}
\lambda=-3 com base do autoespaço \{(1,-3,-4)\}

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