Explicação rápida (aula curta): o polinômio característico é definido por p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Para uma matriz 3\times3 podemos calcular o determinante por expansão em linha ou coluna. Aqui a primeira linha tem duas entradas zero, então é muito prático expandir pela primeira linha: o determinante é o elemento (-1-\lambda) vezes o determinante do menor complementar (a submatriz 2×2 que fica ao eliminar a primeira linha e primeira coluna).]
Passo 3
Calculo do determinante por expansão pela primeira linha:
Fatoro o polinômio quadrático \lambda^2+2\lambda-8. Procuro dois números que multiplicam -8 e somam 2: são 4 e -2. Assim
\lambda^2+2\lambda-8=(\lambda+4)(\lambda-2).
Logo
p(\lambda)=(-1-\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2).
Observação sobre sinal: podemos também escrever p(\lambda)=-(\lambda+1)(\lambda+4)(\lambda-2); o sinal global não altera as raízes. As raízes (autovalores) são, portanto,
\lambda=-1,\quad \lambda=-4,\quad \lambda=2,
cada uma de multiplicidade algébrica 1 (fatores distintos).
Passo 5
Agora vamos achar os autovetores (autoespaços) resolvendo [(A-\lambda I)v=0) para cada raiz.
Substituo y=-2z\] na segunda: \(4(-2z)-z=-8z-z=-9z=0, logo z=0. Então y=0. A primeira equação não impõe restrição a x, ou seja x é livre. Isso significa que os autovetores associados a \lambda=-1 têm a forma
Da primeira equação x=0\]. As duas últimas são iguais e dão \(4y+2z=0, que simplifica para 2y+z=0, ou seja z=-2y. Tomando y livre, por exemplo y=1, obtemos z=-2. Assim um autovetor é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Portanto uma base do autoespaço é
\text{base para }E_{-4}=\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right\}.]