encontre a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços.
\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 2 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: é uma matriz 2\times2 com entradas a_{11}=2, a_{12}=0, a_{21}=2 e a_{22}=-3. As perguntas concretas são:
\text{(i) A equação característica de }A,\qquad \text{(ii) os valores de }\lambda\text{ (autovalores)},\qquad \text{(iii) bases dos autoespaços correspondentes.}çãíç]

Passo 2

Definição e método: para encontrar a equação característica de uma matriz A calculamos o determinante de A-\lambda I e igualamos a zero. Aqui I é a matriz identidade e \lambda é o escalar desconhecido. Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\[4pt] 2 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
A equação característica é dada por \det(A-\lambda I)=0. Vamos calcular esse determinante passo a passo.]

Passo 3

Cálculo do determinante. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando a fórmula em A-\lambda I:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-3-\lambda)-0\cdot 2.
Como o segundo termo é zero, temos
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-3-\lambda).
Multiplicando os fatores:
(2-\lambda)(-3-\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-6.
Portanto a equação característica é
\lambda^{2}+\lambda-6=0.

Passo 4

Obter os autovalores fatorando a equação característica. Procuramos fatores lineares de \lambda^{2}+\lambda-6. Observamos que
\lambda^{2}+\lambda-6=(\lambda+3)(\lambda-2).
Igualando a zero, os autovalores são as raízes:
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=-3.

Passo 5

Agora vamos encontrar o autoespaço associado ao autovalor \lambda_{1}=2\). Precisamos resolver o sistema linear \[(A-2I)x=0.
Primeiro escrevemos A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}2-2 & 0 \\[4pt] 2 & -3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix}.
Chamando x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)x=0 corresponde às equações
\begin{cases} 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=0,\\[4pt] 2x_{1}-5x_{2}=0. \end{cases}
A primeira equação é sempre satisfeita (não fornece informação). A segunda dá 2x_{1}-5x_{2}=0\], ou seja \[2x_{1}=5x_{2}\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\tfrac{5}{2}x_{2}.\] Temos uma variável livre; escolha \(x_{2}=2 para evitar frações e obter um vetor inteiro. Assim x_{1}=5 e um vetor não-nulo solução é
\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda_{1}=2 é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor, ou seja \operatorname{span}\{(5,2)^{T}\}. Uma base natural para esse autoespaço é \{\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}\}.]

Passo 6

Agora o autoespaço associado a \lambda_{2}=-3\). Resolvemos \[(A+3I)x=0,
porque A-(-3)I=A+3I. Calculamos
A+3I=\begin{pmatrix}2+3 & 0 \\[4pt] 2 & -3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
O sistema (A+3I)x=0 com x=(x_{1},x_{2})^{T} é
\begin{cases} 5x_{1}+0\cdot x_{2}=0,\\[4pt] 2x_{1}+0\cdot x_{2}=0. \end{cases}
Ambas as equações impõem x_{1}=0\]. A variável \(x_{2} é livre; tomando x_{2}=1 obtemos o vetor solução
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_{2}=-3 é \operatorname{span}\{(0,1)^{T}\} e uma base conveniente é \{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\}.]

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplicando A pelo vetor \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} deve sair 2 vezes esse vetor. Calculando
A\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 5 + 0\cdot 2\\[4pt] 2\cdot 5 + (-3)\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]10-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix},
confirmando que é autovetor de \lambda=2. Para \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] -3\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
confirmando que é autovetor de \lambda=-3.]

Resposta

Equação característica: \lambda^{2}+\lambda-6=0 (\text{ou }(\lambda+3)(\lambda-2)=0)
Autovalores: \lambda=2 e \lambda=-3
Base do autoespaço de \lambda=2: \left\{\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}
Base do autoespaço de \lambda=-3: \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}]

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