Informações relevantes que temos: é uma matriz 2\times2 com entradas a_{11}=2, a_{12}=0, a_{21}=2 e a_{22}=-3. As perguntas concretas são:
\text{(i) A equação característica de }A,\qquad \text{(ii) os valores de }\lambda\text{ (autovalores)},\qquad \text{(iii) bases dos autoespaços correspondentes.}çãíç]
Passo 2
Definição e método: para encontrar a equação característica de uma matriz A calculamos o determinante de A-\lambda I e igualamos a zero. Aqui I é a matriz identidade e \lambda é o escalar desconhecido. Escrevendo A-\lambda I:
A primeira equação é sempre satisfeita (não fornece informação). A segunda dá 2x_{1}-5x_{2}=0\], ou seja
\[2x_{1}=5x_{2}\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\tfrac{5}{2}x_{2}.\]
Temos uma variável livre; escolha \(x_{2}=2 para evitar frações e obter um vetor inteiro. Assim x_{1}=5 e um vetor não-nulo solução é
\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda_{1}=2 é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor, ou seja \operatorname{span}\{(5,2)^{T}\}. Uma base natural para esse autoespaço é \{\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}\}.]
Passo 6
Agora o autoespaço associado a \lambda_{2}=-3\). Resolvemos
\[(A+3I)x=0,
Ambas as equações impõem x_{1}=0\]. A variável \(x_{2} é livre; tomando x_{2}=1 obtemos o vetor solução
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_{2}=-3 é \operatorname{span}\{(0,1)^{T}\} e uma base conveniente é \{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\}.]
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplicando A pelo vetor \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} deve sair 2 vezes esse vetor. Calculando