Ache uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Ache
. Interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e pede:
e pede:
- Uma equação cartesiana da curva descrita por
. - O escalar
.
Para isso, vamos primeiro achare em seguida eliminar o parâmetro para obter a curva de e calcular o produto escalar.
Passo 2
Calculando a derivada componente a componente:
– Derivada de é
.
– Derivada de é
.
Logo,
– Derivada de
– Derivada de
Logo,
Passo 3
Denotando as coordenadas da curva de
por
usamos a identidade hiperbólica
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar
Passo 5
Geometricamente,
mede a taxa de variação do quadrado da distância ao fundo de curva, pois
Ou seja, esse escalar é duas vezes a componente radial da velocidade, mostrando como muda a distância ao ponto origem.
Resposta
A equação cartesiana é
e