Ache uma equação da circunferência de curvatura de y= =e^{x} no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência de curvatura (osculadora) da curva y=e^x no ponto (0,1). Para isso vamos precisar das derivadas primeira e segunda, da fórmula do raio de curvatura e da posição do centro de curvatura.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=e^x:
y' = e^x, \quad y'' = e^x.
No ponto x=0 temos
y'(0)=1, \quad y''(0)=1.

Passo 3

O raio de curvatura R é dado por
R = \frac{\bigl[1 + (y')^2\bigr]^{3/2}}{\lvert y''\rvert}.
Substituindo y'(0)=1 e y''(0)=1:
R = \frac{(1+1^2)^{3/2}}{1} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

O centro de curvatura (x_C,y_C) satisfaz
x_C = x - \frac{y'\,\bigl[1 + (y')^2\bigr]}{y''}, \quad y_C = y + \frac{1 + (y')^2}{y''}.
Em x=0, y=1, y'(0)=1, y''(0)=1:
x_C = 0 - \frac{1\cdot(1+1^2)}{1} = -2, \quad y_C = 1 + \frac{1+1^2}{1} = 3.

Passo 5

A equação da circunferência de centro (x_C,y_C) e raio R é
(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2.
Substituindo (x_C,y_C)=(-2,3) e R=2\sqrt{2}:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8.

Resposta

(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8.

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