O centro da circunferência de curvatura de uma curva
em um ponto P é chamado de centro de curvatura em
. Prove que as coordenadas do centro de curvatura de uma curva em
são dadas por
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro de curvatura de uma curva
no ponto
, em função de
e
.
O conteúdo que vamos usar é:
O conteúdo que vamos usar é:
- A expressão do raio de curvatura
- A definição do vetor normal unitário à curva em
. - O fato de que o centro de curvatura fica a uma distância
ao longo do vetor normal principal.
Passo 2
Começamos encontrando o vetor tangente unitário
em
. Para a curva dada por
, o vetor diretor não normalizado é
. Normalizando,
Passo 3
O vetor normal principal
(voltado na direção da curvatura) obtém-se girando
em
. Assim,
Passo 4
O raio de curvatura em
é dado por
Esse sinal já reflete o sentido da curvatura (se
,
e o centro fica no sentido de
; se
, fica no sentido oposto).
Passo 5
O centro de curvatura
é obtido deslocando
de
na direção de
:
Passo 6
Calculamos então o deslocamento em
e em
:
Passo 7
Somando aos pontos originais
e
, obtemos