O centro da circunferência de curvatura de uma curva C em um ponto P é chamado de centro de curvatura em P. Prove que as coordenadas do centro de curvatura de uma curva em
P(x, y) são dadas por
x_{e}=x-\frac{\left(\frac{d y}{d x}\right)\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \quad y_{e}=y+\frac{\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+1}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro de curvatura de uma curva C no ponto P(x,y), em função de \displaystyle y'=\frac{dy}{dx} e \displaystyle y''=\frac{d^2y}{dx^2}.
O conteúdo que vamos usar é:
  1. A expressão do raio de curvatura
R = \frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{y''}\;.
  1. A definição do vetor normal unitário à curva em P.
  2. O fato de que o centro de curvatura fica a uma distância R ao longo do vetor normal principal.

Passo 2

Começamos encontrando o vetor tangente unitário \mathbf T em P. Para a curva dada por y=y(x), o vetor diretor não normalizado é (1,\,y'). Normalizando,
\mathbf T = \frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}\,(1,\,y')\;.

Passo 3

O vetor normal principal \mathbf N (voltado na direção da curvatura) obtém-se girando \mathbf T em +90^\circ. Assim,
\mathbf N = \bigl(-T_y,\;T_x\bigr) = \Bigl(-\tfrac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}},\;\tfrac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}\Bigr)\;.

Passo 4

O raio de curvatura em P é dado por
R = \frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{y''}\;.
Esse sinal já reflete o sentido da curvatura (se y''>0, R>0 e o centro fica no sentido de \mathbf N; se y''<0, fica no sentido oposto).

Passo 5

O centro de curvatura E(x_e,y_e) é obtido deslocando P de R na direção de \mathbf N:
(x_e,y_e) \;=\; (x,y) \;+\; R\,\mathbf N\;.

Passo 6

Calculamos então o deslocamento em x e em y:
\Delta x = R\cdot\bigl(-\tfrac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}\bigr) = -\,\frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{y''}\,\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}} = -\,\frac{y'\,\bigl[1+(y')^2\bigr]}{y''}\;,
\Delta y = R\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}} = \frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{y''}\,\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}} = \frac{1+(y')^2}{y''}\;.

Passo 7

Somando aos pontos originais x e y, obtemos
x_e = x + \Delta x = x - \frac{y'\,\bigl[1+(y')^2\bigr]}{y''}, \quad y_e = y + \Delta y = y + \frac{1+(y')^2}{y''}\;.

Resposta

x_{e}=x-\frac{\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)\bigl[1+\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)^{2}\bigr]}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}} \quad y_{e}=y+\frac{1+\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)^{2}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}\,.

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