Nos Exercícios de 31 a 34, ache a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto indicado. Use a fórmula do Exercício 30 para achar K. r=a \theta ; \theta=1
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = a\theta
e pede a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto onde \theta=1.
O conteúdo é “curvatura em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula
K = \frac{\bigl|\,r^2 + 2\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2 - r\,\tfrac{d^2r}{d\theta^2}\bigr|}{\bigl(r^2 + \bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2\bigr)^{3/2}}.
Passo 2
Calculamos as derivadas de r(\theta)=a\theta:
\frac{dr}{d\theta} = a, \quad \frac{d^2r}{d\theta^2} = 0.