Nos Exercícios de 31 a 34, ache a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto indicado. Use a fórmula do Exercício 30 para achar K.
r=a \theta ; \theta=1

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = a\theta
e pede a curvatura K e o raio de curvatura \rho no ponto onde \theta=1.
O conteúdo é “curvatura em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula
K = \frac{\bigl|\,r^2 + 2\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2 - r\,\tfrac{d^2r}{d\theta^2}\bigr|}{\bigl(r^2 + \bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de r(\theta)=a\theta:
\frac{dr}{d\theta} = a, \quad \frac{d^2r}{d\theta^2} = 0.

Passo 3

Substituindo na fórmula de K:
o numerador fica
r^2 + 2\Bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\Bigr)^2 - r\,\tfrac{d^2r}{d\theta^2} = (a\theta)^2 + 2a^2 - (a\theta)\cdot 0 = a^2(\theta^2 + 2),
o denominador fica
\bigl(r^2 + (\tfrac{dr}{d\theta})^2\bigr)^{3/2} = \bigl(a^2\theta^2 + a^2\bigr)^{3/2} = \bigl(a^2(\theta^2+1)\bigr)^{3/2} = a^3(\theta^2+1)^{3/2}.
Em \theta=1 temos
\text{numerador} = a^2(1+2)=3a^2, \quad \text{denominador} = a^3\cdot(1+1)^{3/2}=a^3\cdot2\sqrt2=2\sqrt2\,a^3.
Logo
K = \frac{3a^2}{2\sqrt2\,a^3} = \frac{3}{2\sqrt2\,a} = \frac{3\sqrt2}{4a}.

Passo 4

O raio de curvatura é \rho=\tfrac1K. Portanto
\rho = \frac{1}{\frac{3}{2\sqrt2\,a}} = \frac{2\sqrt2\,a}{3}.

Resposta

K\bigl(\theta=1\bigr) = \frac{3}{2\sqrt2\,a} \quad\text{e}\quad \rho\bigl(\theta=1\bigr) = \frac{2\sqrt2\,a}{3}.

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