Ache a equação do plano \pi que passa pelo ponto P=(2,-7,12) e é paralelo ao plano \alpha: 2 x-y-4 z+2020=0.

Passo 1

Vou esclarecer exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: o ponto P=(2,-7,12).
  • Dado: o plano \alpha com equação 2x-y-4z+2020=0.
  • Pedido: achar a equação do plano \pi que passa por P e é paralelo a \alpha.

Passo 2

Entendendo a forma geral de um plano e o que significa “paralelo”.
  • A forma geral de um plano é
ax+by+cz+d=0,
onde a,b,c,d são constantes.
  • O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a qualquer direção do plano.
  • Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais). Em particular, se quisermos um plano paralelo a \alpha, podemos usar exatamente o mesmo vetor normal de \alpha.

Passo 3

Pegar o vetor normal de \alpha.
  • A equação de \alpha é 2x-y-4z+2020=0.
  • Portanto o vetor normal de \alpha é
\mathbf{n}_\alpha=(2,-1,-4).
  • Logo o plano \pi terá a mesma tripla de coeficientes a=2, b=-1, c=-4. A única incógnita será o termo constante d da equação de \pi.

Passo 4

Escrever a equação de \pi com o d desconhecido e impor que ela passe por P.
  • A equação genérica de \pi será
2x-y-4z+d=0.
  • Para que \pi passe por P=(2,-7,12), substitui-se as coordenadas de P na equação:
2\cdot 2 - (-7) - 4\cdot 12 + d = 0.
  • Calculemos passo a passo:
2\cdot 2 = 4, \qquad -(-7)=7, \qquad -4\cdot 12 = -48.
Somando:
4 + 7 - 48 = -37.
Assim
-37 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = 37.

Passo 5

Escrever a equação final do plano \pi e fazer uma checagem rápida.
  • A equação encontrada é
2x - y - 4z + 37 = 0.
  • Checagem rápida: o vetor normal é (2,-1,-4), igual ao de \alpha (portanto são paralelos), e substituindo P obtém-se 2\cdot2 -(-7) -4\cdot12 +37 = -37+37=0, logo P pertence ao plano. Tudo consistente.

Resposta

2x - y - 4z + 37 = 0

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