Ache a equação do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Passo 1
Vou esclarecer exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: o ponto
. - Dado: o plano
com equação . - Pedido: achar a equação do plano
que passa por e é paralelo a .
Passo 2
Entendendo a forma geral de um plano e o que significa “paralelo”.
- A forma geral de um plano é
onde
são constantes.
- O vetor normal ao plano é
. Esse vetor é perpendicular a qualquer direção do plano. - Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais). Em particular, se quisermos um plano paralelo a
, podemos usar exatamente o mesmo vetor normal de .
Passo 3
Pegar o vetor normal de
.
- A equação de
é . - Portanto o vetor normal de
é
- Logo o plano
terá a mesma tripla de coeficientes , , . A única incógnita será o termo constante da equação de .
Passo 4
Escrever a equação de
com o
desconhecido e impor que ela passe por
.
- A equação genérica de
será
- Para que
passe por , substitui-se as coordenadas de na equação:
- Calculemos passo a passo:
Somando:
Assim
Passo 5
Escrever a equação final do plano
e fazer uma checagem rápida.
- A equação encontrada é
- Checagem rápida: o vetor normal é
, igual ao de (portanto são paralelos), e substituindo obtém-se , logo pertence ao plano. Tudo consistente.