Dados os pontos A=(11,-5,1), B-\left(\frac{1}{2},-4,7\right), C=(3,-3,4) e D=\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}, 2\right), verifique quais dentre eles pertencem ao plano \pi: x+3 y- 4 z+8=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos pontos dados pertencem ao plano \pi definido por
x+3y-4z+8=0.
As informações fornecidas (peguei os pontos do enunciado) são:
A=\bigl(11,-5,1\bigr),\qquad B=\bigl(\tfrac{1}{2},-4,7\bigr),
C=\bigl(3,-3,4\bigr),\qquad D=\bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},2\bigr).
A pergunta é: para cada ponto P\in\{A,B,C,D\}, temos P\in\pi? Em outras palavras, ao substituir as coordenadas de P em \,x+3y-4z+8\,, o resultado é zero?

Passo 2

Explicação do método (a ideia que vou usar, passo a passo): o plano \pi é dado pela equação
x+3y-4z+8=0.
Um ponto P=(x_0,y_0,z_0) pertence ao plano se, e somente se, ao substituir x=x_0, y=y_0, z=z_0 nessa expressão obtemos zero. Ou seja, calcular
L(P)=x_0+3y_0-4z_0+8.
Se L(P)=0 então P pertence ao plano; se L(P)\neq0 então não pertence. Vou aplicar essa verificação a cada ponto, fazendo as contas com atenção às frações e às somas/subtrações.

Passo 3

Verificação para A=\bigl(11,-5,1\bigr).
Calcular
L(A)=11+3\cdot(-5)-4\cdot 1+8.
Fazendo as operações em passos:
3\cdot(-5)=-15,
-4\cdot 1=-4,
portanto
L(A)=11-15-4+8.
Agora somando na ordem:
11-15=-4,\qquad -4-4=-8,\qquad -8+8=0.
Logo L(A)=0. (Isso significa que A satisfaz a equação do plano.)

Passo 4

Verificação para B=\bigl(\tfrac{1}{2},-4,7\bigr).
Calcular
L(B)=\tfrac{1}{2}+3\cdot(-4)-4\cdot 7+8.
Passo a passo:
3\cdot(-4)=-12,\qquad -4\cdot 7=-28,
então
L(B)=\tfrac{1}{2}-12-28+8.
Agrupando os termos inteiros:
-12-28+8=-32,
portanto
L(B)=\tfrac{1}{2}-32=\tfrac{1}{2}-\tfrac{64}{2}=-\tfrac{63}{2}.
Assim L(B)=-\tfrac{63}{2}\neq0. (Logo B não pertence ao plano.)

Passo 5

Verificação para C=\bigl(3,-3,4\bigr).
Calcular
L\text{(C)}=3+3\cdot(-3)-4\cdot 4+8.
Passos:
3\cdot(-3)=-9,\qquad -4\cdot 4=-16,
então
L\text{(C)}=3-9-16+8.
Somando:
3-9=-6,\qquad -6-16=-22,\qquad -22+8=-14.
Logo L\text{(C)}=-14\neq0. (Portanto C não pertence ao plano.)

Passo 6

Verificação para D=\bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},2\bigr).
Calcular
L(D)=\tfrac{3}{2}+3\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)-4\cdot 2+8.
Passos:
3\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{3}{2},\qquad -4\cdot 2=-8,
portanto
L(D)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}-8+8.
Observe que \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}=0 e -8+8=0, então
L(D)=0+0=0.
Assim L(D)=0. (Logo D satisfaz a equação do plano.)

Resposta

A pertence ao plano \pi.
B não pertence ao plano \pi.
C não pertence ao plano \pi.
D pertence ao plano \pi.

Exercícios relacionados