Calcule o valor de k para que o ponto P=(-1,7, k) pertença ao plano \pi: x+3 y- 4 z+8=0.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor de k tal que o ponto P=(-1,7,k) pertença ao plano \pi dado por
x+3y-4z+8=0.
Informações fornecidas:
  • Coordenadas do ponto: x=-1, y=7, z=k.
  • Equação do plano: x+3y-4z+8=0.
    Pergunta explícita: encontrar o valor de k que torna verdadeiro que P satisfaça a equação do plano.

Passo 2

Entendendo o que significa “pertencer ao plano”: um ponto pertence a um plano quando, ao substituir as coordenadas do ponto na equação do plano, a igualdade é verdadeira. A equação geral de um plano é
ax+by+cz+d=0,
onde a, b, c e d são constantes. Para checar pertença, substitui-se x, y, z pelas coordenadas do ponto e verifica-se se a expressão resulta em 0.

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas de P na equação do plano. Substituindo x=-1, y=7 e z=k em
x+3y-4z+8=0
obtém-se a equação
-1 + 3\cdot 7 - 4k + 8 = 0.

Passo 4

Agora simplificamos passo a passo a expressão numérica à esquerda:
-1 + 3\cdot 7 - 4k + 8 = -1 + 21 - 4k + 8.
Primeiro somamos os termos numéricos (sem k):
-1 + 21 = 20,
20 + 8 = 28.
Portanto a equação fica
28 - 4k = 0.

Passo 5

Isolamos k na equação 28 - 4k = 0. Subtraindo 28 de ambos os lados:
-4k = -28.
Dividindo ambos os lados por -4:
k = 7.

Passo 6

Verificação rápida (checar é uma boa prática): substituir k=7 de volta na equação original com o ponto P:
-1 + 3\cdot 7 - 4\cdot 7 + 8 = -1 + 21 - 28 + 8.
Calculando os termos:
-1 + 21 = 20,\quad 20 - 28 = -8,\quad -8 + 8 = 0.
Como dá 0, o ponto com k=7 realmente satisfaz a equação do plano.

Resposta

k=7

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