Ache uma equação da reta em R^3 que contém o ponto P=(0,1,0) e é ortogonal aos vetores v1=(1,1,0) e v2=(2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação da reta no espaço tridimensional ( R^3) que passa pelo ponto P=(0,1,0) e é ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores v1=(1,1,0) e v2=(2,1,0). Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, como a reta precisa ser ortogonal aos dois vetores dados, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular a ambos. Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores, a gente usa o produto vetorial. Ele nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial entre v1 e v2. A fórmula do produto vetorial de dois vetores a=(a1, a2, a3) e b=(b1, b2, b3) é:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aplicando isso aos nossos vetores:
v1 times v2 = ((1)(0) - (0)(1), (0)(2) - (1)(0), (1)(1) - (1)(2)) = (0, 0, -1)
Então, o vetor diretor d da reta é (0, 0, -1).

Passo 4

Agora que temos o ponto P=(0,1,0) e o vetor diretor d=(0,0,-1), podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + dxt y = y0 + dyt z = z0 + dzt
Onde (x0, y0, z0) é o ponto da reta e (dx, dy, dz) é o vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
x = 0 + 0 cdot t y = 1 + 0 cdot t z = 0 + (-1) cdot t
Simplificando, fica:
x = 0 y = 1 z = -t

Resposta

A equação da reta é:
x = 0 y = 1 z = -t

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