Determine as superfícies de nível para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão nos pede para determinar as superfícies de nível da função $ f(x, y, z) = \frac{x^{2} + y^{2}}{z - 1} $. Superfícies de nível são como “cortes” da função onde ela assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
que fazem com que a função $ f(x, y, z) $ seja igual a uma constante $ c $. Ou seja, queremos encontrar todos os pontos onde:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para entender como é a superfície. Multiplicando ambos os lados por $ z - 1 $ para eliminar a fração, temos:
Passo 4
Essa equação representa diferentes tipos de superfícies dependendo do valor de $ c $:
-
Se $ c \neq 0 $: A equação $ x^{2} + y^{2} = c(z - 1) $ descreve um paraboloide circular. Se $ c > 0 $, o paraboloide se abre na direção positiva de $ z $, e se $ c < 0 $, se abre na direção negativa.
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Se $ c = 0 $: A equação se simplifica para $ x^{2} + y^{2} = 0 $, o que só é verdade quando $ x = y = 0 $. Isso corresponde ao eixo $ z $.
Passo 5
Portanto, para cada valor de $ c $, temos uma superfície de nível diferente:
- Para $ c \neq 0 $: $ x^{2} + y^{2} = c(z - 1) $ é um paraboloide circular.
- Para $ c = 0 $: A superfície é o eixo $ z $.
Resposta
As superfícies de nível da função $ f(x, y, z) = \frac{x^{2} + y^{2}}{z - 1} $ são paraboloides circulares definidos por $ x^{2} + y^{2} = c(z - 1) $ para todo valor constante $ c $, e o eixo $ z $ quando $ c = 0 $.