Seja f(x)=2 x-1x+2. Ache f^prime(0), f^prime prime(1) e f^prime prime prime(0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função f(x)=2x-1x+2 e avaliá-las em x=0 (para f' e f''') e x=1 (para f''). Vamos usar a regra do quociente e a regra de potências.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para f(x)=u(x)v(x), com u(x)=2x-1 e v(x)=x+2, temos:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2= 2(x+2)-(2x-1)cdot1(x+2)^2=5(x+2)^2

Passo 3

Para obter f''(x) e f'''(x), reescrevemos f'(x)=5(x+2)^-2 e derivamos usando a regra de potências:
f''(x)=-10(x+2)^-3=-10(x+2)^3,
f'''(x)=(-10)(-3)(x+2)^-4=30(x+2)^4

Passo 4

Agora avaliamos nos pontos pedidos:
• (f’(0)=\frac{5}{(0+2)^2}=\frac{5}{4}.
• (f’’(1)=-\frac{10}{(1+2)^3}=-\frac{10}{27}.
f'''(0)=30(0+2)^4=3016=158.

Resposta

f’(0)=5/4, ; f’’(1)=-10/27, ; f’’’(0)=15/8

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