Ache uma equação da reta tangente à curva x=2 \operatorname{sen} t, y=5 \cos t, no ponto onde t=\frac{1}{3} \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = 2\sin t,\quad y = 5\cos t
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t = \tfrac{\pi}{3}.
Conteúdo: derivação de curvas paramétricas, onde a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calculamos as coordenadas do ponto em t = \tfrac{\pi}{3}:
x\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 5\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 5\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.

Passo 3

Derivamos em relação a t:
\frac{dx}{dt} = 2\cos t, \quad \frac{dy}{dt} = -5\sin t.
Logo a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} = \frac{-5\sin t}{2\cos t} = -\frac{5}{2}\tan t.
Em t = \tfrac{\pi}{3} tem-se
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \sqrt{3},
portanto
m = -\frac{5}{2}\,\sqrt{3} = -\frac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto \bigl(\sqrt{3},\tfrac{5}{2}\bigr) com inclinação m é
y - \frac{5}{2} = -\frac{5\sqrt{3}}{2}\,\bigl(x - \sqrt{3}\bigr).
Podemos expandir para a forma explícita.

Resposta

y = -\frac{5\sqrt{3}}{2}\,x + 10.

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