Nos Exercícios de 7 a 12, ache \frac{d y}{d x} e \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, sem eliminar o parâmetro.
x=a \operatorname{cosh} t, y=b \operatorname{senh} t

Passo 1

Resumindo, temos as funções paramétricas
x = a \operatorname{cosh} t,
y = b \operatorname{sinh} t.
O conteúdo aqui é derivação de curvas paramétricas, em que usamos
\frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}}
e
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)}{\tfrac{dx}{dt}}.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, derivamos em relação a t:
\frac{dx}{dt} = a \operatorname{sinh} t,
\frac{dy}{dt} = b \operatorname{cosh} t.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{b \operatorname{cosh} t}{a \operatorname{sinh} t} = \frac{b}{a}\,\coth t.

Passo 3

Agora, para a segunda derivada, calculamos
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{b}{a}\coth t\Bigr) = \frac{b}{a}\bigl(-\csch^{2}t\bigr) = -\frac{b}{a}\,\csch^{2}t.
Dividindo pelo \frac{dx}{dt}=a\operatorname{sinh} t, obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-\frac{b}{a}\,\csch^{2}t}{a\operatorname{sinh} t} = -\frac{b}{a^{2}\operatorname{sinh}^{3}t}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a}\,\coth t
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{b}{a^{2}\,\operatorname{sinh}^{3}t}

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