Ache a equação da reta tangente à curva
no intervalo
que seja perpendicular à reta
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida em
e pede a(s) reta(s) tangente(s) a essa curva que sejam perpendiculares à reta
.
Informações relevantes:
- A reta dada tem coeficiente angular (inclinação)
(peguei isso do enunciado). - A derivada de
será a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva. - O problema pede a(s) reta(s) tangente(s) cuja inclinação seja perpendicular à da reta dada.
Passo 2
Entender o que significa “ser perpendicular” entre duas retas: se duas retas têm coeficientes angulares
e
, então elas são perpendiculares se e somente se
Aqui
, então a inclinação
que queremos para a reta tangente satisfaz
Portanto a reta tangente buscada deve ter inclinação
.
Passo 3
Agora relacionar inclinação da tangente com a derivada da função. Para
a derivada é
Essa derivada
dá a inclinação da reta tangente em cada ponto
. Queremos os pontos
tais que
Cancelando o sinal negativo em ambos os lados obtemos
Passo 4
Resolver
no intervalo
. Na circunferência trigonométrica sabemos que
ocorre em
(60°) e em
(120°), ambos pertencentes a
. Logo os pontos candidatos são
Passo 5
Calcular as ordenadas
nesses pontos (esses valores serão os pontos de contato para as tangentes).
Portanto os pontos de tangência são
e
.
Passo 6
Construir a equação da reta tangente a partir da forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação do tangente (aqui
). Aplicando para cada ponto:
Para
:
Para
:
Passo 7
Se preferir a forma
, podemos expandir e encontrar os termos independentes
.
Para o primeiro ponto:
com
Logo
Para o segundo ponto:
com
Logo