Ache a equação da reta tangente à curva y=\cos x no intervalo [0, \pi] que seja perpendicular à reta y=\frac{2}{\sqrt{3}} x+1.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\cos x definida em [0,\pi] e pede a(s) reta(s) tangente(s) a essa curva que sejam perpendiculares à reta y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}x+1.
Informações relevantes:
  • A reta dada tem coeficiente angular (inclinação) m_1=\dfrac{2}{\sqrt{3}} (peguei isso do enunciado).
  • A derivada de y=\cos x será a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva.
  • O problema pede a(s) reta(s) tangente(s) cuja inclinação seja perpendicular à da reta dada.

Passo 2

Entender o que significa “ser perpendicular” entre duas retas: se duas retas têm coeficientes angulares m_1 e m_2, então elas são perpendiculares se e somente se
m_1 m_2 = -1.
Aqui m_1=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, então a inclinação m que queremos para a reta tangente satisfaz
\dfrac{2}{\sqrt{3}}\; m = -1 \quad\Rightarrow\quad m = -\dfrac{1}{(2/\sqrt{3})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a reta tangente buscada deve ter inclinação m=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Agora relacionar inclinação da tangente com a derivada da função. Para y=\cos x a derivada é
y' = \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.
Essa derivada y'(x) dá a inclinação da reta tangente em cada ponto x. Queremos os pontos x\in[0,\pi] tais que
y'(x) = -\sin x = m = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Cancelando o sinal negativo em ambos os lados obtemos
\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Resolver \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} no intervalo [0,\pi]. Na circunferência trigonométrica sabemos que \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} ocorre em x=\dfrac{\pi}{3} (60°) e em x=\dfrac{2\pi}{3} (120°), ambos pertencentes a [0,\pi]. Logo os pontos candidatos são
x_1=\dfrac{\pi}{3},\qquad x_2=\dfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Calcular as ordenadas y=\cos x nesses pontos (esses valores serão os pontos de contato para as tangentes).
y_1=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, \qquad y_2=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}.
Portanto os pontos de tangência são \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{1}{2}\right) e \left(\dfrac{2\pi}{3},-\dfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Construir a equação da reta tangente a partir da forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
y-y_0 = m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto de tangência e m é a inclinação do tangente (aqui m=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}). Aplicando para cada ponto:
Para x_1=\dfrac{\pi}{3},\;y_1=\dfrac{1}{2}:
y-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right).
Para x_2=\dfrac{2\pi}{3},\;y_2=-\dfrac{1}{2}:
y+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right).

Passo 7

Se preferir a forma y=mx+b, podemos expandir e encontrar os termos independentes b.
Para o primeiro ponto:
y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + b_1,
com
b_1 = y_1 - m x_1 = \dfrac{1}{2} -\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}.
Logo
y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}.
Para o segundo ponto:
y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + b_2,
com
b_2 = y_2 - m x_2 = -\dfrac{1}{2} -\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}.
Logo
y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}x -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}.

Resposta

y-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)
y+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)

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