Encontre a equação da reta tangente à curva
que seja paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente à curva
que seja paralela à reta
.
Informações dadas e objetivo claro:
- Função dada:
. - Reta que queremos que seja paralela:
. - Uma reta paralela a outra tem o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação). Portanto preciso:
- Encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta
. - Determinar o(s) ponto(s) na curva
onde a derivada (slope da tangente) tem esse valor. - Usar esse ponto e esse coeficiente angular para escrever a equação da reta tangente.
- Encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta
Passo 2
Entendendo o conceito usado: a derivada e a reta tangente.
- A derivada de uma função num ponto dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva nesse ponto. Em notação, se
, a inclinação da tangente em é . - Para a função
, a derivada é uma fórmula padrão que diz: Aqui significa: para cada , a inclinação instantânea da curva naquele vale .
Exemplo rápido (para fixar): se
, então
. Em
a inclinação da tangente é
.
Passo 3
Achar o coeficiente angular da reta dada.
- Reescrevendo
na forma explícita : - Logo o coeficiente angular (inclinação) é
.
Como queremos tangente paralela a essa reta, a inclinação da tangente deve ser
. Portanto precisamos resolver
para encontrar o(s)
em que a derivada da função vale
.
Passo 4
Resolver
e verificar domínio.
- Resolvo a equação:
- Verificação de domínio: a função
está definida apenas para . Aqui , então é um ponto válido.
Passo 5
Encontrar a coordenada
correspondente e formar a equação da tangente.
-
Calcular
em : (Usou-se a propriedade.) -
Temos, portanto, o ponto de tangência
e inclinação . -
Usar a forma ponto-inclinação da equação da reta: se uma reta passa por
com inclinação , sua equação é Substituindo, e : Simplificando passo a passo:
Passo 6
Checagem rápida e comentário final:
- Verificando o ponto: para
, a reta dá , que é o correto. - A derivada em
é , igual ao coeficiente angular exigido, então tudo bate. - Resumindo: esse é o procedimento padrão que se aplica sempre que pedirem reta tangente paralela a outra — igualar derivada ao coeficiente angular da reta dada, achar o ponto e montar a reta com ponto-inclinação. Força aí — já era meio caminho andado!