Encontre a equação da reta tangente à curva y=\ln x que seja paralela à reta 2 x-y+5=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente à curva y=\ln x que seja paralela à reta 2x-y+5=0.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Função dada: y=\ln x.
  • Reta que queremos que seja paralela: 2x-y+5=0.
  • Uma reta paralela a outra tem o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação). Portanto preciso:
    1. Encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta 2x-y+5=0.
    2. Determinar o(s) ponto(s) na curva y=\ln x onde a derivada (slope da tangente) tem esse valor.
    3. Usar esse ponto e esse coeficiente angular para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Entendendo o conceito usado: a derivada e a reta tangente.
  • A derivada de uma função num ponto dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva nesse ponto. Em notação, se y=f(x), a inclinação da tangente em x=a é f'(a).
  • Para a função y=\ln x, a derivada é uma fórmula padrão que diz: \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.Aqui \frac{1}{x} significa: para cada x>0, a inclinação instantânea da curva y=\ln x naquele x vale \dfrac{1}{x}.
Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=x^2, então f'(x)=2x. Em x=1 a inclinação da tangente é 2\cdot1=2.

Passo 3

Achar o coeficiente angular da reta dada.
  • Reescrevendo 2x-y+5=0 na forma explícita y=mx+b: 2x-y+5=0 \quad\Rightarrow\quad y=2x+5.
  • Logo o coeficiente angular (inclinação) é m=2.
Como queremos tangente paralela a essa reta, a inclinação da tangente deve ser 2. Portanto precisamos resolver
\frac{1}{x}=2
para encontrar o(s) x em que a derivada da função vale 2.

Passo 4

Resolver \dfrac{1}{x}=2 e verificar domínio.
  • Resolvo a equação: \frac{1}{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}.
  • Verificação de domínio: a função \ln x está definida apenas para x>0. Aqui x=\dfrac{1}{2}>0, então é um ponto válido.

Passo 5

Encontrar a coordenada y correspondente e formar a equação da tangente.
  • Calcular y em x=\dfrac{1}{2}:
    y=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
    (Usou-se a propriedade \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln 1-\ln 2=0-\ln 2=-\ln 2.)
  • Temos, portanto, o ponto de tangência \left(\dfrac{1}{2},-\ln 2\right) e inclinação m=2.
  • Usar a forma ponto-inclinação da equação da reta: se uma reta passa por (x_0,y_0) com inclinação m, sua equação é
    y-y_0 = m(x-x_0).
    Substituindo x_0=\dfrac{1}{2}, y_0=-\ln 2 e m=2:
    y-(-\ln 2)=2\left(x-\frac{1}{2}\right).
    Simplificando passo a passo:
    y+\ln 2 = 2x-1,
y = 2x-1-\ln 2.

Passo 6

Checagem rápida e comentário final:
  • Verificando o ponto: para x=\dfrac{1}{2}, a reta dá y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1-\ln 2=1-1-\ln 2=-\ln 2, que é o y correto.
  • A derivada em x=\dfrac{1}{2} é \dfrac{1}{1/2}=2, igual ao coeficiente angular exigido, então tudo bate.
  • Resumindo: esse é o procedimento padrão que se aplica sempre que pedirem reta tangente paralela a outra — igualar derivada ao coeficiente angular da reta dada, achar o ponto e montar a reta com ponto-inclinação. Força aí — já era meio caminho andado!

Resposta

y=2x-1-\ln 2

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