Determine os pontos sobre o gráfico de f(x)=x^{2} e^{x} nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede os pontos do gráfico onde a reta tangente é horizontal. Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{2}e^{x}.
  • Pedido: determinar os pontos (x,f(x)) nos quais a reta tangente ao gráfico é horizontal.

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”? A reta tangente num ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. Logo, a reta tangente é horizontal exatamente quando a derivada é zero. Em símbolos: precisamos resolver
f'(x)=0.
Aqui a derivada representa a taxa de variação instantânea da função e dá a inclinação da reta tangente. Então o plano de ataque é: calcular f'(x) e achar as soluções de f'(x)=0.

Passo 3

Calcular f'(x). Como f(x) é produto de duas funções u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}, usamos a regra do produto:
\text{se }f(x)=u(x)v(x)\text{ então }f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).ã
Aqui u'(x)=2x e v'(x)=e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x}). Aplicando:
f'(x)=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}.
Agora fatoramos e^{x} (porque aparece em ambos os termos):
f'(x)=e^{x}\bigl(2x+x^{2}\bigr).
Podemos reescrever o fator interno fatorando x:
f'(x)=e^{x}\,x\,(2+x).

Passo 4

Resolver f'(x)=0. Observação importante: e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, portanto o fator e^{x} nunca zera e pode ser ignorado ao procurar raízes. Assim precisamos resolver
x(2+x)=0.
As soluções desse produto nulo são
x=0\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 5

Encontrar as coordenadas dos pontos no gráfico, ou seja, calcular f(x) em cada solução:
  • Para x=0:
f(0)=0^{2}e^{0}=0\cdot 1=0.
Logo o ponto é (0,0).
  • Para x=-2:
f(-2)=(-2)^{2}e^{-2}=4e^{-2}=\frac{4}{e^{2}}.
Logo o ponto é \bigl(-2,\;4e^{-2}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (só para conferir): substituir nas expressões fatoradas de f'(x):
f'(0)=e^{0}\cdot 0\cdot(2+0)=1\cdot 0\cdot 2=0,
f'(-2)=e^{-2}\cdot(-2)\cdot(2-2)=e^{-2}\cdot(-2)\cdot 0=0.
As duas derivadas são zero, confirmando que as tangentes nesses pontos são horizontais. Dica para prova: sempre procure fatorar e lembrar que e^{x}>0, isso facilita encontrar as raízes.

Resposta

(0,0)
\bigl(-2,\;4e^{-2}\bigr)

Exercícios relacionados