Determine os pontos sobre o gráfico de
nos quais a reta tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos do gráfico onde a reta tangente é horizontal. Informações dadas:
- Função:
. - Pedido: determinar os pontos
nos quais a reta tangente ao gráfico é horizontal.
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”? A reta tangente num ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. Logo, a reta tangente é horizontal exatamente quando a derivada é zero. Em símbolos: precisamos resolver
Aqui a derivada representa a taxa de variação instantânea da função e dá a inclinação da reta tangente. Então o plano de ataque é: calcular
e achar as soluções de
.
Passo 3
Calcular
. Como
é produto de duas funções
e
, usamos a regra do produto:
Aqui
e
(porque a derivada de
é
). Aplicando:
Agora fatoramos
(porque aparece em ambos os termos):
Podemos reescrever o fator interno fatorando
:
Passo 4
Resolver
. Observação importante:
para todo
, portanto o fator
nunca zera e pode ser ignorado ao procurar raízes. Assim precisamos resolver
As soluções desse produto nulo são
Passo 5
Encontrar as coordenadas dos pontos no gráfico, ou seja, calcular
em cada solução:
- Para
:
Logo o ponto é
.
- Para
:
Logo o ponto é
.
Passo 6
Verificação rápida (só para conferir): substituir nas expressões fatoradas de
:
As duas derivadas são zero, confirmando que as tangentes nesses pontos são horizontais. Dica para prova: sempre procure fatorar e lembrar que
, isso facilita encontrar as raízes.