Ache a equação da reta tangente a curva
y + 2 x = cos(pi x y^2)
no ponto (-1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas, que ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para em função de .

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, . Como a equação está de forma implícita (não está isolando ), vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de é .
  • Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada é vezes a derivada do argumento .
Agora, a derivada do argumento em relação a é:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia novamente).
Então, a derivada total do lado direito fica:

Passo 4

Agora, vamos montar a equação com todas as derivadas:
Queremos resolver essa equação para .

Passo 5

Vamos isolar :
Primeiro, distribuímos o :
Agora, juntamos os termos que contêm :
Fatoramos :
Finalmente, isolamos :

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.
Substituindo e :
Simplificando:
Sabemos que , então:
A inclinação da reta tangente é .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:
Ou, simplificando:

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