Calcule a derivada da função
h(x) = x^(ln(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que têm variáveis no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função tem a variável tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Assim:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é e a derivada de é :

Passo 5

Isolando , multiplicamos ambos os lados por :
E lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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