Encontre o valor máximo de f(x, y) = 49 - x^2 - y^2 sobre a reta x + 3y = 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função na reta . Isso envolve otimização de funções com restrição linear. Para resolver, vamos precisar substituir uma variável pela outra usando a equação da reta e então encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na equação da reta para facilitar a substituição. Vou isolar o :

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir isso na função :

Passo 4

Vamos expandir o termo :
Substituindo de volta na função:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora temos uma função quadrática em :
Sabemos que essa parábola abre para baixo (coeficiente de negativo), então o valor máximo ocorre no vértice.

Passo 7

A fórmula para a coordenada do vértice de uma parábola é:
Aqui, e , então:

Passo 8

Com , vamos encontrar o valor correspondente de usando a equação da reta:

Passo 9

Agora, substituímos e na função original para encontrar o valor máximo:

Resposta

O valor máximo de sobre a reta é 39, atingido no ponto .

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