ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arcos como parâmetro, onde sé medido a partir do ponto onde t=0. Comprove o seu resultado usando a equação (7).
Um vértice da hipociclóide de quatro vértices:
\mathbf{R}(t)=a \cos ^{3} t \mathbf{i}+a \operatorname{sen}^{3} t \mathbf{j} \quad 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2} \pi .

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
\mathbf{R}(t)=a\cos^{3}t\,\mathbf{i}+a\sin^{3}t\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le\frac{\pi}{2}
usando o comprimento de arco s medido desde t=0 como parâmetro. O conteúdo é reparametrização pelo comprimento de arco, e vamos precisar de
\frac{ds}{dt}=\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\|
e depois inverter s(t) para achar t(s).

Passo 2

Calcular \mathbf{R}'(t) e seu módulo.
\mathbf{R}'(t) = a\bigl(-3\cos^{2}t\sin t\,\mathbf{i}+3\sin^{2}t\cos t\,\mathbf{j}\bigr)
\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\| =3a\,|\sin t\cos t|\;=\;3a\sin t\cos t \quad(0\le t\le\tfrac{\pi}{2},\;\sin t\cos t\ge0).

Passo 3

Integrar para obter s(t):
s(t)=\int_{0}^{t}3a\sin u\cos u\,du =3a\cdot\frac{1}{2}\sin^{2}u\Big|_{0}^{t} =\frac{3a}{2}\sin^{2}t.

Passo 4

Inverter a relação para t em função de s:
\sin^{2}t=\frac{2s}{3a} \;\Longrightarrow\; \sin t=\sqrt{\frac{2s}{3a}}, \quad \cos t=\sqrt{1-\frac{2s}{3a}}.

Passo 5

Substituir em \mathbf{R}(t) para obter \mathbf{r}(s):
x(s)=a\cos^{3}t =a\Bigl(1-\frac{2s}{3a}\Bigr)^{3/2}, \quad y(s)=a\sin^{3}t =a\Bigl(\frac{2s}{3a}\Bigr)^{3/2},
com 0\le s\le s\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{3a}{2}.

Passo 6

Comprovar via equação (7), que para parâmetro de comprimento de arco se tem \bigl\|\tfrac{d\mathbf r}{ds}\bigr\|=1. Calculamos
\frac{dx}{ds} =-a\cdot\frac{3}{2}\Bigl(1-\frac{2s}{3a}\Bigr)^{1/2}\cdot\frac{2}{3a} = -\Bigl(1-\frac{2s}{3a}\Bigr)^{1/2},
\frac{dy}{ds} =a\cdot\frac{3}{2}\Bigl(\frac{2s}{3a}\Bigr)^{1/2}\cdot\frac{2}{3a} =\Bigl(\frac{2s}{3a}\Bigr)^{1/2}.
Então
\Bigl(\frac{dx}{ds}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{ds}\Bigr)^{2} =\Bigl(1-\tfrac{2s}{3a}\Bigr)+\Bigl(\tfrac{2s}{3a}\Bigr) =1,
o que mostra \|\mathbf r'(s)\|=1 conforme a equação (7).

Resposta

As equações paramétricas com comprimento de arco s são
\boxed{ x(s)=a\Bigl(1-\frac{2s}{3a}\Bigr)^{3/2},\quad y(s)=a\Bigl(\frac{2s}{3a}\Bigr)^{3/2},\quad 0\le s\le\frac{3a}{2}. }

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