Se a curva C tiver \mathbf{R}(t)=(4-3 t) \mathbf{i}+\left(t^{3}-3 t\right) \mathbf{j} como equação vetorial, ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores \mathbf{N}(1) e D_{i}^{2} \mathbf{R}(1).

Passo 1

O enunciado dá a curva C com equação vetorial
\mathbf{R}(t) = (4 - 3t)\,\mathbf{i} + (t^3 - 3t)\,\mathbf{j}
e pede o ângulo entre o vetor normal unitário \mathbf{N}(1) e o vetor \,D_{i}^{2}\mathbf{R}(1). Aqui vamos interpretar D_{i}^{2}\mathbf{R}(1) como a segunda derivada \mathbf{R}''(1). O conteúdo é o referencial de Frenet em curvas planas: cálculo de \mathbf{T}, \mathbf{N} e relação com \mathbf{R}''.

Passo 2

Calcule \mathbf{R}'(t) e \mathbf{R}''(t):
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl[(4-3t)\mathbf{i}+(t^3-3t)\mathbf{j}\bigr] =-3\,\mathbf{i}+(3t^2-3)\,\mathbf{j},
\mathbf{R}''(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{R}'(t) =0\,\mathbf{i}+6t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Encontre o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t)=\mathbf{R}'(t)/\|\mathbf{R}'(t)\| em t=1:
\mathbf{R}'(1)=-3\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j},\qquad \|\mathbf{R}'(1)\|=\sqrt{(-3)^2+0^2}=3,
\mathbf{T}(1)=\frac{-3\,\mathbf{i}}{3}=-\,\mathbf{i}.
Agora calcule \mathbf{T}'(t) e avalie em t=1, para obter \mathbf{N}(1)=\mathbf{T}'(1)/\|\mathbf{T}'(1)\|. Como
\mathbf{T}(t)=\frac{-3\,\mathbf{i}+(3t^2-3)\mathbf{j}}{\sqrt{9+(3t^2-3)^2}},
temos
\mathbf{T}'(1)=2\,\mathbf{j},\qquad \|\mathbf{T}'(1)\|=2,
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\mathbf{N}(1)=\frac{2\,\mathbf{j}}{2}=\mathbf{j}.

Passo 4

Avalie \mathbf{R}''(1):
\mathbf{R}''(1)=0\,\mathbf{i}+6\cdot1\,\mathbf{j}=6\,\mathbf{j}.
O ângulo \theta entre \mathbf{N}(1) (que é \mathbf{j}) e \mathbf{R}''(1) (que é 6\,\mathbf{j}) satisfaz
\cos\theta =\frac{\mathbf{N}(1)\cdot\mathbf{R}''(1)}{\|\mathbf{N}(1)\|\;\|\mathbf{R}''(1)\|} =\frac{\mathbf{j}\cdot6\,\mathbf{j}}{1\cdot6} =\frac{6}{6}=1.

Resposta

\theta=0 radianos.

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