1. Ache a Força que atua sobre uma carga \mathrm{q}_{1}=+20 \mu \mathrm{C} devido à presença de outra \mathrm{q}_{2}=-300 \mu \mathrm{C}. A primeira carga está na posição ( 0,1,2 ) e a segunda ( 2,0,0 ), todas as distâncias expressas em metros.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a força que atua sobre a carga \mathrm{q}_{1}=+20\\ \mu\mathrm{C} devido à presença da outra carga \mathrm{q}_{2}=-300\\ \mu\mathrm{C}. As posições dadas são:
  • \mathbf{r}_{1}=(0,1,2) metros (posição de \mathrm{q}_{1}),
  • \mathbf{r}_{2}=(2,0,0) metros (posição de \mathrm{q}_{2}).
O que se pede explicitamente: calcular o vetor força \mathbf{F} que a carga \mathrm{q}_{2} exerce sobre \mathrm{q}_{1}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a Lei de Coulomb em forma vetorial diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é
\mathbf{F}_{1} = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|^{3}}\,(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}),
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática (aproximadamente 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}});
  • q_{1},q_{2} são as cargas (em coulombs);
  • \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2} são vetores posição das cargas;
  • \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} é o vetor que vai da carga 2 para a carga 1;
  • a forma acima dá corretamente direção e sentido: se q_{1}q_{2}<0 (cargas de sinais opostos) a força é atrativa, se q_{1}q_{2}>0 é repulsiva.
Explicando em palavras simples: calculamos o vetor que liga as posições, achamos a distância entre as cargas, e aplicamos a fórmula de Coulomb com a orientação dada por \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}.

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}:
\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} = (0,1,2)-(2,0,0)=(-2,\,1,\,2).

Passo 4

Calcular a distância entre as cargas r=|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|:
r=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3\\ \text{m}.

Passo 5

Converter as cargas para coulombs e calcular o produto q_{1}q_{2}:
q_{1}=20\\ \mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad q_{2}=-300\\ \mu\mathrm{C}=-300\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
q_{1}q_{2}=(20\times10^{-6})\times(-300\times10^{-6})=-6000\times10^{-12}=-6\times10^{-9}\\ \mathrm{C^{2}}.

Passo 6

Calcular o fator escalar s=k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{3}}. Usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e r^{3}=3^{3}=27:
s=8{,}99\times10^{9}\times\frac{-6\times10^{-9}}{27} =\frac{8{,}99\times(-6)}{27} =\frac{-53{,}94}{27}\approx-1{,}998.
Então o escalar é s\approx-1{,}998 (unidade tal que multiplicado pelo vetor em metros dá newtons).

Passo 7

Multiplicar o escalar pelo vetor \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} para obter a força:
\mathbf{F}=s\,(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})\approx -1{,}998\;(-2,\,1,\,2).
Fazendo as componentes:
\mathbf{F}\approx(-1{,}998)(-2,\,1,\,2)=(3{,}996,\,-1{,}998,\,-3{,}996)\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação final (curta e motivadora): a força tem componente positiva em x e componentes negativas em y e z; como as cargas têm sinais opostos, a força sobre \mathrm{q}_{1} aponta no sentido de aproximá-la de \mathrm{q}_{2} (atração), o que confere sentido físico ao resultado. Vai dar tudo certo na prova — lembre-se: vetor deslocamento, distância, produto de cargas, e aplicar Coulomb.

Resposta

\mathbf{F}\approx(3{,}996,\,-1{,}998,\,-3{,}996)\\ \mathrm{N}

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