Um trem move-se para a direita em relação ao solo, com velocidade \vec{v}=v \vec{j} \mathrm{e}, no seu interior, existe uma fonte de luz, que emite um feixe vertical.
(a) calcule o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) usando o resultado do item anterior, calcule o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz, em relação ao solo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) a partir do item (a) obter o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz em relação ao solo.
Informações dadas:
  • Um trem (referencial do trem, chamemos de S') move-se para a direita em relação ao solo (referencial do solo, chamemos de S) com velocidade \vec{v} de magnitude v dirigida ao longo do eixo horizontal positivo. Vou representar essa velocidade como \vec{v}=v\,\hat{\imath} (direita).
  • No interior do trem há uma fonte que emite um feixe vertical no referencial do trem. Ou seja, no referencial S' a velocidade do feixe tem componente horizontal nula e componente vertical de módulo c (velocidade da luz). Assim, em S' vale \vec{u}\,'=(0,\,\pm c), onde o sinal + indica para cima e - para baixo. Vou resolver para o caso “para cima” ( \vec{u}\,'=(0,\,c)); o caso para baixo apenas inverte o sinal da componente vertical.

Passo 2

Noções e fórmulas que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  • Em relatividade especial as componentes da velocidade transformam-se quando trocamos de referencial em movimento relativo ao longo de um eixo (aqui: eixo x). As fórmulas de transformação de velocidades (quando o referencial S' se move em +x com velocidade v em relação a S) são:
u_x=\frac{u_x' + v}{1+\dfrac{v\,u_x'}{c^2}}, \qquad u_y=\frac{u_y'}{\gamma\left(1+\dfrac{v\,u_x'}{c^2}\right)},
onde u_x',u_y' são as componentes da velocidade no referencial S', u_x,u_y as componentes em S, c é a velocidade da luz e
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz. Explicando essas fórmulas em palavras: a componente paralela ao movimento relativo (a x) sofre a adição relativística direta no numerador e um fator no denominador que corrige efeitos relativísticos; a componente perpendicular (a y) sofre uma contração por \gamma e pelo mesmo denominador. Essas fórmulas garantem, entre outras coisas, que nenhuma velocidade resultante ultrapasse c e que a velocidade da luz permaneça c em todos os referenciais.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso caso: no referencial do trem ( S' ) o feixe é vertical para cima, logo
u_x'=0,\qquad u_y'=c.
Substituindo em u_x:
u_x=\frac{0+v}{1+\dfrac{v\cdot 0}{c^2}}=\frac{v}{1}=v.
Substituindo em u_y:
u_y=\frac{c}{\gamma\left(1+\dfrac{v\cdot 0}{c^2}\right)}=\frac{c}{\gamma}.
Portanto, a velocidade do feixe no referencial do solo tem componentes u_x=v (horizontal, para a direita) e u_y=\dfrac{c}{\gamma} (vertical, para cima).

Passo 4

Escrevendo o vetor velocidade em S:
\vec{u}=v\,\hat{\imath}+\frac{c}{\gamma}\,\hat{\jmath}.
Este é o resultado vetorial procurado no item (a). (Nota: caso o feixe no trem fosse para baixo, a componente vertical seria -\dfrac{c}{\gamma}.)

Passo 5

Agora vou obter o módulo, a direção e o sentido da velocidade (item (b)).
Módulo:
Calculo o módulo como
|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{v^2+\left(\frac{c}{\gamma}\right)^2}.
Usando \gamma^{-2}=1-\dfrac{v^2}{c^2}, tem-se
\left(\frac{c}{\gamma}\right)^2=c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=c^2-v^2.
Logo
|\vec{u}|=\sqrt{v^2+(c^2-v^2)}=\sqrt{c^2}=c.
Conclusão importante: o módulo da velocidade no solo é c — a velocidade da luz permanece c em todos os referenciais.
Direção (ângulo):
Escolho medir o ângulo \theta a partir da vertical (positivo girando da vertical para a horizontal), assim \tan\theta=\dfrac{\text{componente horizontal}}{\text{componente vertical}}. Portanto
\tan\theta=\frac{u_x}{u_y}=\frac{v}{c/\gamma}= \gamma\,\frac{v}{c}.
Definindo \beta=\dfrac{v}{c}, isso fica
\tan\theta=\gamma\beta.
Assim o ângulo vale
\theta=\arctan\!\big(\gamma\beta\big)=\arctan\!\left(\gamma\frac{v}{c}\right).
Alternativamente, se preferir o ângulo \varphi medido a partir da horizontal, tem \tan\varphi=\dfrac{u_y}{u_x}=\dfrac{c/\gamma}{v}=\dfrac{1}{\gamma\beta} e \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\gamma\beta}\right).
Sentido:
Como u_x=v>0 e u_y=c/\gamma>0 (no caso considerado para cima), o sentido da velocidade no solo é para a direita e para cima. Se o feixe no trem fosse para baixo, o sentido seria para a direita e para baixo (horizontalmente para a direita em qualquer caso).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{u}=v\,\hat{\imath}+\frac{c}{\gamma}\,\hat{\jmath}, com \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.
(b) |\vec{u}|=c; direção: \displaystyle \theta=\arctan\!\big(\gamma\,\tfrac{v}{c}\big) medida a partir da vertical (ou \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{1}{\gamma v/c}\big) a partir da horizontal); sentido: para a direita e para cima (no caso de emissão para cima).

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