Um trem move-se para a direita em relação ao solo, com velocidade
, no seu interior, existe uma fonte de luz, que emite um feixe vertical.
(a) calcule o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) usando o resultado do item anterior, calcule o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz, em relação ao solo.
(a) calcule o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) usando o resultado do item anterior, calcule o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz, em relação ao solo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) a partir do item (a) obter o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz em relação ao solo.
(a) calcular o vetor velocidade do feixe de luz em relação ao solo;
(b) a partir do item (a) obter o módulo, a direção e o sentido da velocidade da luz em relação ao solo.
Informações dadas:
- Um trem (referencial do trem, chamemos de
) move-se para a direita em relação ao solo (referencial do solo, chamemos de ) com velocidade de magnitude dirigida ao longo do eixo horizontal positivo. Vou representar essa velocidade como (direita). - No interior do trem há uma fonte que emite um feixe vertical no referencial do trem. Ou seja, no referencial
a velocidade do feixe tem componente horizontal nula e componente vertical de módulo (velocidade da luz). Assim, em vale , onde o sinal indica para cima e para baixo. Vou resolver para o caso “para cima” ( ); o caso para baixo apenas inverte o sinal da componente vertical.
Passo 2
Noções e fórmulas que vou usar (explicação didática e passo a passo):
- Em relatividade especial as componentes da velocidade transformam-se quando trocamos de referencial em movimento relativo ao longo de um eixo (aqui: eixo
). As fórmulas de transformação de velocidades (quando o referencial se move em com velocidade em relação a ) são:
onde
são as componentes da velocidade no referencial
,
as componentes em
,
é a velocidade da luz e
é o fator de Lorentz. Explicando essas fórmulas em palavras: a componente paralela ao movimento relativo (a
) sofre a adição relativística direta no numerador e um fator no denominador que corrige efeitos relativísticos; a componente perpendicular (a
) sofre uma contração por
e pelo mesmo denominador. Essas fórmulas garantem, entre outras coisas, que nenhuma velocidade resultante ultrapasse
e que a velocidade da luz permaneça
em todos os referenciais.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso caso: no referencial do trem (
) o feixe é vertical para cima, logo
Substituindo em
:
Substituindo em
:
Portanto, a velocidade do feixe no referencial do solo tem componentes
(horizontal, para a direita) e
(vertical, para cima).
Passo 4
Escrevendo o vetor velocidade em
:
Este é o resultado vetorial procurado no item (a). (Nota: caso o feixe no trem fosse para baixo, a componente vertical seria
.)
Passo 5
Agora vou obter o módulo, a direção e o sentido da velocidade (item (b)).
Módulo:
Calculo o módulo como
Calculo o módulo como
Usando
, tem-se
Logo
Conclusão importante: o módulo da velocidade no solo é
— a velocidade da luz permanece
em todos os referenciais.
Direção (ângulo):
Escolho medir o ângulo a partir da vertical (positivo girando da vertical para a horizontal), assim
. Portanto
Escolho medir o ângulo
Definindo
, isso fica
Assim o ângulo vale
Alternativamente, se preferir o ângulo
medido a partir da horizontal, tem
e
.
Sentido:
Como e
(no caso considerado para cima), o sentido da velocidade no solo é para a direita e para cima. Se o feixe no trem fosse para baixo, o sentido seria para a direita e para baixo (horizontalmente para a direita em qualquer caso).
Como
Resposta
(a)
, com
(b) direção:
medida a partir da vertical (ou
a partir da horizontal); sentido: para a direita e para cima (no caso de emissão para cima).
(b)