Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
retângulo em \mathbb{R}^{2} de lados paralelos aos eixos e vértices em (0,0) e (1,2), sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma possível parametrização da curva que é o contorno do retângulo em \mathbb{R}^2 com lados paralelos aos eixos e vértices em (0,0) e (1,2), seguindo sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um vértice é (0,0) e o vértice oposto é (1,2).
  • Os lados são paralelos aos eixos x e y.
  • A orientação é anti-horária (sentido anti-horário).
  • O contorno do retângulo é formado por quatro segmentos retos: dois verticais e dois horizontais, que ligam os vértices (0,0), (0,2), (1,2) e (1,0) numa ordem que deve ser anti-horária.

Passo 2

Ideia geral para parametrizar um segmento de reta entre dois pontos.
Se queremos parametrizar o segmento que vai de P_0=(x_0,y_0) até P_1=(x_1,y_1) usando um parâmetro s que varia em um intervalo [a,b], a forma mais simples é linear (movimento uniforme):
\mathbf{r}(s)=(1-\sigma)P_0+\sigma P_1,
onde \sigma é uma função afim de s que mapeia [a,b] em [0,1]. Por exemplo, se \sigma=\dfrac{s-a}{b-a} então \sigma(a)=0 e \sigma(b)=1. Em coordenadas isso vira
x(s)=x_0+\sigma(s)\,(x_1-x_0),\qquad y(s)=y_0+\sigma(s)\,(y_1-y_0).
Explicação das variáveis: \mathbf{r}(s) é o vetor posição no plano, x(s) e y(s) são as coordenadas em função do parâmetro s, e \sigma(s) é o “progresso” ao longo do segmento (0 no começo, 1 no fim).

Passo 3

Escolhendo um parâmetro simples para todo o contorno. Vou usar um parâmetro t que varia em [0,4] e dividir esse intervalo em quatro subintervalos de comprimento 1, um para cada lado do retângulo. Isso facilita: em cada subintervalo t corre de 0 a 1 (após uma translação), então podemos aplicar diretamente a fórmula afim do passo anterior com \sigma=t-\lfloor t\rfloor no subintervalo apropriado. Também deixa claro o sentido anti-horário se escolhemos a ordem correta dos vértices.
Ordem anti-horária dos vértices partindo de (0,0):
(0,0) (0,2) (lado esquerdo, subindo),
(0,2) (1,2) (lado superior, indo para a direita),
(1,2) (1,0) (lado direito, descendo),
(1,0) (0,0) (lado inferior, indo para a esquerda).

Passo 4

Parametrização do primeiro lado: de (0,0) até (0,2) correspondente a t\in[0,1].
Usando a fórmula afim com \sigma=t (que vai de 0 a 1 quando t vai de 0 a 1), temos
\mathbf{r}(t)=(1-t)(0,0)+t(0,2)=(0,2t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: em t=0 (0,0); em t=1 (0,2). Isso é movimento para cima (vertical) — consistente com anti-horário.

Passo 5

Parametrização do segundo lado: de (0,2) até (1,2) correspondente a t\in[1,2].
Aqui queremos que quando t=1 o ponto seja (0,2) e quando t=2 seja (1,2). Definimos \sigma=t-1, que percorre 0 a 1 quando t vai de 1 a 2. Assim
\mathbf{r}(t)=(1-(t-1))(0,2)+(t-1)(1,2)=(t-1,\,2),\qquad t\in[1,2].
Verificação: em t=1 fica (0,2); em t=2 fica (1,2). Movimento para a direita — ok.

Passo 6

Parametrização do terceiro lado: de (1,2) até (1,0) correspondente a t\in[2,3].
Precisamos que em t=2 o ponto seja (1,2) e em t=3 seja (1,0). Tomamos \sigma=t-2. A fórmula afim dá
\mathbf{r}(t)=(1-(t-2))(1,2)+(t-2)(1,0)=(1,\,2(3-t)),\qquad t\in[2,3].
Verificação: em t=2 obtemos (1,2); em t=3 obtemos (1,0). Esse segmento vai para baixo — consistente com anti-horário.
Observação de cálculo: escrevemos a componente y como 2(3-t) porque quando t=2 2 e quando t=3 0.

Passo 7

Parametrização do quarto lado: de (1,0) até (0,0) correspondente a t\in[3,4].
Queremos t=3 \mapsto (1,0) e t=4 \mapsto (0,0). Tomando \sigma=t-3 (vai de 0 a 1), a fórmula dá
\mathbf{r}(t)=(1-(t-3))(1,0)+(t-3)(0,0)=(4-t,\,0),\qquad t\in[3,4].
Verificação: em t=3 fica (1,0); em t=4 fica (0,0). Movimento para a esquerda — fecha o contorno em sentido anti-horário.

Passo 8

Juntando todas as peças obtemos uma parametrização contínua do contorno do retângulo em [0,4]. É contínua nos pontos de junção t=1,2,3,4 e percorre a borda exatamente uma vez no sentido anti-horário. Essa é uma escolha natural e fácil de aplicar na prova: cada lado recebe o mesmo “tempo” do parâmetro.

Resposta

\mathbf{r}:[0,4]\to\mathbb{R}^2,\qquad \mathbf{r}(t)= \begin{cases} (0,\,2t), & 0\le t\le 1,\\[6pt] (t-1,\,2), & 1\le t\le 2,\\[6pt] (1,\,2(3-t)), & 2\le t\le 3,\\[6pt] (4-t,\,0), & 3\le t\le 4. \end{cases}]

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