Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
retângulo em
de lados paralelos aos eixos e vértices em
e
, sentido anti-horário.
retângulo em
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma possível parametrização da curva que é o contorno do retângulo em
com lados paralelos aos eixos e vértices em
e
, seguindo sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Um vértice é
e o vértice oposto é . - Os lados são paralelos aos eixos
e . - A orientação é anti-horária (sentido anti-horário).
- O contorno do retângulo é formado por quatro segmentos retos: dois verticais e dois horizontais, que ligam os vértices
, , e numa ordem que deve ser anti-horária.
Passo 2
Ideia geral para parametrizar um segmento de reta entre dois pontos.
Se queremos parametrizar o segmento que vai de até
usando um parâmetro
que varia em um intervalo
, a forma mais simples é linear (movimento uniforme):
Se queremos parametrizar o segmento que vai de
onde
é uma função afim de
que mapeia
em
. Por exemplo, se
então
e
. Em coordenadas isso vira
Explicação das variáveis:
é o vetor posição no plano,
e
são as coordenadas em função do parâmetro
, e
é o “progresso” ao longo do segmento (0 no começo, 1 no fim).
Passo 3
Escolhendo um parâmetro simples para todo o contorno. Vou usar um parâmetro
que varia em
e dividir esse intervalo em quatro subintervalos de comprimento
, um para cada lado do retângulo. Isso facilita: em cada subintervalo
corre de
a
(após uma translação), então podemos aplicar diretamente a fórmula afim do passo anterior com
no subintervalo apropriado. Também deixa claro o sentido anti-horário se escolhemos a ordem correta dos vértices.
Ordem anti-horária dos vértices partindo de
:
→
(lado esquerdo, subindo),
→
(lado superior, indo para a direita),
→
(lado direito, descendo),
→
(lado inferior, indo para a esquerda).
Passo 4
Parametrização do primeiro lado: de
até
correspondente a
.
Usando a fórmula afim com (que vai de
a
quando
vai de
a
), temos
Usando a fórmula afim com
Verificação rápida: em
dá
; em
dá
. Isso é movimento para cima (vertical) — consistente com anti-horário.
Passo 5
Parametrização do segundo lado: de
até
correspondente a
.
Aqui queremos que quando o ponto seja
e quando
seja
. Definimos
, que percorre
a
quando
vai de
a
. Assim
Aqui queremos que quando
Verificação: em
fica
; em
fica
. Movimento para a direita — ok.
Passo 6
Parametrização do terceiro lado: de
até
correspondente a
.
Precisamos que em o ponto seja
e em
seja
. Tomamos
. A fórmula afim dá
Precisamos que em
Verificação: em
obtemos
; em
obtemos
. Esse segmento vai para baixo — consistente com anti-horário.
Observação de cálculo: escrevemos a componente
como
porque quando
dá
e quando
dá
.
Passo 7
Parametrização do quarto lado: de
até
correspondente a
.
Queremos e
. Tomando
(vai de
a
), a fórmula dá
Queremos
Verificação: em
fica
; em
fica
. Movimento para a esquerda — fecha o contorno em sentido anti-horário.
Passo 8
Juntando todas as peças obtemos uma parametrização contínua do contorno do retângulo em
. É contínua nos pontos de junção
e percorre a borda exatamente uma vez no sentido anti-horário. Essa é uma escolha natural e fácil de aplicar na prova: cada lado recebe o mesmo “tempo” do parâmetro.