Ache uma forma escalonada para cada uma das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma forma escalonada (row‑echelon form) da matriz A.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Elementos da matriz A listados acima.
  • Objetivo: produzir uma forma escalonada por meio de operações elementares de linha.]

Passo 2

O que é uma forma escalonada (explicação didática)?
  • Uma matriz está em forma escalonada quando:
    1. Todas as linhas nulas (se houver) aparecem embaixo das linhas não nulas.
    2. O primeiro elemento não nulo (chamado pivô ou leading entry) de cada linha não nula fica estritamente à direita do pivô da linha acima.
    3. Abaixo de cada pivô, todos os elementos na mesma coluna são zeros.
  • Não é necessário que os pivôs sejam 1 nem que acima deles haja zeros (isso seria forma reduzida). Aqui basta a forma escalonada simples.
Operações elementares de linha que podemos usar (sem alterar o espaço das soluções):
  • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i,
  • somar múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
Estratégia simples para esta matriz: evitar frações no começo trocando linhas para ter um 1 como pivô inicial (se possível), eliminar abaixo do pivô e organizar linhas nulas embaixo.

Passo 3

Primeiro passo prático: trocar R_1 com R_2 para colocar um 1 no pivô da primeira linha (isso evita frações inicialmente). Fazemos
R_1 \leftrightarrow R_2.
Aplicando isso em A obtemos
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}.
Comentário curto: agora a primeira linha tem pivô 1 na coluna 1.]

Passo 4

Eliminar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna (tornar o elemento na posição (2,1) igual a zero). Para isso usamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos cada entrada da nova R_2:
  • primeira componente: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda componente: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • terceira componente: 0 - 2\cdot 1 = -2.
A matriz fica
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora observamos as duas últimas linhas:
R_2 = (0,0,-2),\qquad R_3 = (0,0,5).
Ambas têm o primeiro não nulo na mesma coluna (coluna 3). Para obter forma escalonada precisamos que, ao descer as linhas, o pivô se desloque para a direita; portanto é conveniente colocar a linha com pivô mais à esquerda acima da outra. Aqui ambas têm pivô na mesma coluna, então podemos simplesmente ordenar as linhas de forma a obter um pivô não nulo em uma linha e depois eliminar abaixo. Trocamos R_2 e R_3:
R_2 \leftrightarrow R_3.
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Eliminar o elemento abaixo do pivô da segunda linha (coluna 3). O pivô em R_2 é 5 na coluna 3. Para zerar a posição (3,3) usamos
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{2}{5}R_2.
Cálculo da nova R_3:
  • terceira componente: -2 + \frac{2}{5}\cdot 5 = -2 + 2 = 0.
    As duas primeiras componentes já eram 0, então R_3 vira a linha nula (0,0,0).
A matriz fica
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação das condições de forma escalonada:
  • Todas as linhas nulas estão embaixo (sim, R_3 é nula).
  • O primeiro pivô da primeira linha está na coluna 1; o primeiro pivô da segunda linha está na coluna 3, que está à direita da coluna 1 — condição satisfeita.
  • Abaixo de cada pivô há zeros (abaixo do pivô em (1,1) as entradas são zero na coluna 1; abaixo do pivô em (2,3) está zero).
    Portanto a matriz exibida é uma forma escalonada de A.

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}]

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