Objetivo: produzir uma forma escalonada por meio de operações elementares de linha.]
Passo 2
O que é uma forma escalonada (explicação didática)?
Uma matriz está em forma escalonada quando:
Todas as linhas nulas (se houver) aparecem embaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo (chamado pivô ou leading entry) de cada linha não nula fica estritamente à direita do pivô da linha acima.
Abaixo de cada pivô, todos os elementos na mesma coluna são zeros.
Não é necessário que os pivôs sejam 1 nem que acima deles haja zeros (isso seria forma reduzida). Aqui basta a forma escalonada simples.
Operações elementares de linha que podemos usar (sem alterar o espaço das soluções):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i,
somar múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
Estratégia simples para esta matriz: evitar frações no começo trocando linhas para ter um 1 como pivô inicial (se possível), eliminar abaixo do pivô e organizar linhas nulas embaixo.
Passo 3
Primeiro passo prático: trocar R_1 com R_2 para colocar um 1 no pivô da primeira linha (isso evita frações inicialmente). Fazemos
Ambas têm o primeiro não nulo na mesma coluna (coluna 3). Para obter forma escalonada precisamos que, ao descer as linhas, o pivô se desloque para a direita; portanto é conveniente colocar a linha com pivô mais à esquerda acima da outra. Aqui ambas têm pivô na mesma coluna, então podemos simplesmente ordenar as linhas de forma a obter um pivô não nulo em uma linha e depois eliminar abaixo. Trocamos R_2 e R_3:
Todas as linhas nulas estão embaixo (sim, R_3 é nula).
O primeiro pivô da primeira linha está na coluna 1; o primeiro pivô da segunda linha está na coluna 3, que está à direita da coluna 1 — condição satisfeita.
Abaixo de cada pivô há zeros (abaixo do pivô em (1,1) as entradas são zero na coluna 1; abaixo do pivô em (2,3) está zero).
Portanto a matriz exibida é uma forma escalonada de A.