Ache uma forma escalonada para cada uma das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ -4 & 6\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -4 & 6\end{pmatrix}
e pede: encontrar uma forma escalonada (row-echelon form) dessa matriz.
Informações importantes dadas:
  • A matriz é 2\times2.
  • Entradas: primeira linha (2,\,-3), segunda linha (-4,\;6).
    O objetivo é aplicar operações elementares de linha até obter uma matriz em forma escalonada.]

Passo 2

O que é uma forma escalonada (linha por linha), de forma simples e prática:
  • Todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das linhas não nulas.
  • O primeiro elemento não nulo (chamado pivô) de cada linha não nula fica à direita do pivô da linha acima.
  • Não é obrigatório que os pivôs sejam 1 (mas muitas vezes é conveniente escaloná-los para 1).
Operações elementares de linha permitidas (que podemos usar livremente):
  1. trocar duas linhas entre si;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Vou usar essas operações para tornar a entrada abaixo do pivô da primeira coluna igual a zero.

Passo 3

Começo escrevendo a matriz inicial explicitamente:
A=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -4 & 6\end{pmatrix}.
O pivô natural para iniciar a eliminação é o elemento \,2\, na posição (1,1).]

Passo 4

Eliminação do elemento abaixo do pivô (fazer o elemento -4 virar 0):
  • Quero zerar a entrada da segunda linha, primeira coluna. Uso a operação
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 + 2\cdot\text{linha}_1.
Faço as contas componente a componente:
  • Primeira coluna da nova linha 2: -4 + 2\cdot 2 = -4 + 4 = 0.
  • Segunda coluna da nova linha 2: 6 + 2\cdot(-3) = 6 - 6 = 0.
Aplicando a operação obtemos
\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Neste ponto já está satisfeita a condição de forma escalonada: a segunda linha é nula e está abaixo da primeira linha não nula.]

Passo 5

Opcional — normalizar o pivô para 1 (torna a forma mais “canônica”):
  • Multiplico a primeira linha por \tfrac{1}{2}:
\text{linha}_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}\cdot\text{linha}_1.
Cálculo:
  • 2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
  • -3\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2}.
A matriz fica
\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{3}{2} \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é uma forma escalonada (e além disso é uma forma escalonada reduzida na primeira coluna, embora não tenhamos necessidade de zerar elementos à esquerda do pivô neste caso).]

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento:
  • Note que a segunda linha virou linha nula porque originalmente \text{linha}_2 = -2\cdot\text{linha}_1; isso mostra que as linhas são linearmente dependentes e a matriz tem posto 1.
  • Para a prova: mostre sempre as operações de linha que usou (como fiz acima) e, se quiser, normalize pivôs para 1 no final — é uma prática comum.

Resposta

\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{3}{2} \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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