Ache uma forma escalonada para cada uma das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 5 & 1 \\\\ 3 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a única matriz abaixo e pede para encontrar uma forma escalonada dela:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 5 & 1\\[4pt] 3 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz de dimensão 3\times2.
  • Deve-se apresentar uma forma escalonada (ou seja, uma matriz equivalente obtida por operações elementares sobre linhas, com zeros abaixo dos pivôs).]

Passo 2

O que significa “forma escalonada” (explicando como fazer na prova):
  • Forma escalonada por linhas (row echelon form) exige que:
    1. Todas as linhas nulas (se houver) fiquem por baixo.
    2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não-nula esteja estritamente à direita do pivô da linha anterior.
    3. Todos os elementos abaixo de cada pivô sejam zeros.
  • Operações elementares de linha permitidas (essas são as ferramentas que se pode usar na prova):
    1. Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
    2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, \lambda \neq 0.
    3. Somar múltiplos de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
  • Estratégia prática para escalonar: escolher um pivô na primeira coluna (primeira linha com elemento não-nulo), anular os elementos abaixo dele usando somas de linhas, depois passar para a próxima linha e coluna à direita, repetir.

Passo 3

Começamos com a matriz A. Escrevo as linhas como R_1,R_2,R_3:
\begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 5 & 1\\[4pt] 3 & 0 \end{pmatrix}.
Escolho o pivô inicial em (1,1), que é -1. Para zerar os elementos abaixo (entradas (2,1) e (3,1)) faço:
  • R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1 porque 5 + 5\cdot(-1)=0.
  • R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1 porque 3 + 3\cdot(-1)=0.
Faço essas operações calculando cada entrada:
  • Nova R_2: primeira coluna 5 + 5(-1)=0; segunda coluna 1 + 5\cdot 2 = 1 + 10 = 11.
  • Nova R_3: primeira coluna 3 + 3(-1)=0; segunda coluna 0 + 3\cdot 2 = 6.
A matriz após essas operações é
\begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 0 & 11\\[4pt] 0 & 6 \end{pmatrix}.
Explicando o raciocínio: agora temos pivô em (1,1)=-1 e o elemento abaixo dele na coluna 1 são zeros — boa progressão.]

Passo 4

Agora olhamos a segunda linha: o primeiro elemento não-nulo de R_2 é 11 na coluna 2, então esse é o pivô da segunda linha. Para ter forma escalonada precisamos que o elemento abaixo desse pivô (entrada (3,2)) seja zero. Atualmente (3,2)=6. Para zerá-lo faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{6}{11}R_2.
Calculando a nova R_3: primeira coluna já é 0 e permanece 0; segunda coluna 6 - \frac{6}{11}\cdot 11 = 6 - 6 = 0.
A matriz fica então
\begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 0 & 11\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora satisfazemos a condição básica de forma escalonada: pivô em (1,1), pivô em (2,2), e zeros abaixo de cada pivô.]

Passo 5

Opcionalmente, é comum (e útil na prova) deixar os pivôs iguais a 1 — isso ainda é forma escalonada (às vezes chamada forma escalonada com pivôs unitários) e facilita leitura. Para isso uso operações de escala:
  • R_1 \leftarrow -R_1 para transformar o pivô -1 em 1.
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{11}R_2 para transformar o pivô 11 em 1.
Aplicando:
  • Nova R_1 = (1,\,-2).
  • Nova R_2 = (0,\;1).
  • R_3 permanece (0,0).
Obtemos a matriz
\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix},
que é uma forma escalonada válida (os pivôs são 1 e estão deslocados para a direita à medida que descemos).]

Passo 6

Se quisermos ir além e obter a forma reduzida por linhas (reduzida por linha é opcional — é a forma escalonada mais “limpa”), ainda eliminamos o elemento acima do segundo pivô (entrada (1,2)=-2) usando:
R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
Isso dá R_1=(1,0) e mantém R_2=(0,1), R_3=(0,0). A matriz final reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Essa é a forma escalonada reduzida (RREF). Ela é equivalente à forma escalonada encontrada no passo anterior e geralmente é aceita como resposta quando se pede “uma forma escalonada”.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}]

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