Deve-se apresentar uma forma escalonada (ou seja, uma matriz equivalente obtida por operações elementares sobre linhas, com zeros abaixo dos pivôs).]
Passo 2
O que significa “forma escalonada” (explicando como fazer na prova):
Forma escalonada por linhas (row echelon form) exige que:
Todas as linhas nulas (se houver) fiquem por baixo.
O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não-nula esteja estritamente à direita do pivô da linha anterior.
Todos os elementos abaixo de cada pivô sejam zeros.
Operações elementares de linha permitidas (essas são as ferramentas que se pode usar na prova):
Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, \lambda \neq 0.
Somar múltiplos de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
Estratégia prática para escalonar: escolher um pivô na primeira coluna (primeira linha com elemento não-nulo), anular os elementos abaixo dele usando somas de linhas, depois passar para a próxima linha e coluna à direita, repetir.
Passo 3
Começamos com a matriz A. Escrevo as linhas como R_1,R_2,R_3:
Explicando o raciocínio: agora temos pivô em (1,1)=-1 e o elemento abaixo dele na coluna 1 são zeros — boa progressão.]
Passo 4
Agora olhamos a segunda linha: o primeiro elemento não-nulo de R_2 é 11 na coluna 2, então esse é o pivô da segunda linha. Para ter forma escalonada precisamos que o elemento abaixo desse pivô (entrada (3,2)) seja zero. Atualmente (3,2)=6. Para zerá-lo faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{6}{11}R_2.
Calculando a nova R_3: primeira coluna já é 0 e permanece 0; segunda coluna 6 - \frac{6}{11}\cdot 11 = 6 - 6 = 0.
Agora satisfazemos a condição básica de forma escalonada: pivô em (1,1), pivô em (2,2), e zeros abaixo de cada pivô.]
Passo 5
Opcionalmente, é comum (e útil na prova) deixar os pivôs iguais a 1 — isso ainda é forma escalonada (às vezes chamada forma escalonada com pivôs unitários) e facilita leitura. Para isso uso operações de escala:
R_1 \leftarrow -R_1 para transformar o pivô -1 em 1.
R_2 \leftarrow \dfrac{1}{11}R_2 para transformar o pivô 11 em 1.
que é uma forma escalonada válida (os pivôs são 1 e estão deslocados para a direita à medida que descemos).]
Passo 6
Se quisermos ir além e obter a forma reduzida por linhas (reduzida por linha é opcional — é a forma escalonada mais “limpa”), ainda eliminamos o elemento acima do segundo pivô (entrada (1,2)=-2) usando:
R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
Isso dá R_1=(1,0) e mantém R_2=(0,1), R_3=(0,0). A matriz final reduzida é
Essa é a forma escalonada reduzida (RREF). Ela é equivalente à forma escalonada encontrada no passo anterior e geralmente é aceita como resposta quando se pede “uma forma escalonada”.]