Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 11. (F. 10.1, ex.2.6)
c u^prime prime+mu^2 u=f u(0)=u^prime(pi2)=0
em que mu neq 1,3,5, ldots

Passo 1

O problema é achar a função de Green para
u''(x)+mu^2,u(x)=f(x), 0<= x<=pi2,
com as condições de contorno
u(0)=0, u'l(tfracpi2r)=0,
e em que mu não anula o denominador que vai aparecer (ou seja, muneq1,3,5,dots).
Como o operador L[u]=u''+mu^2u é auto-adjunto nessas CC, a função de Green satisfaz
Lx[G(x,s)]=de<a(x-s),
com as mesmas condições de contorno em x.

Passo 2

Para xneq s a função de Green satisfaz a equação homogênea
G''+mu^2G=0,
cuja solução geral é
G(x,s)=A(s),sin(mu x)+B(s),cos(mu x)
A condição G(0,s)=0 obriga B(s)=0. Portanto, escrevemos
G(x,s)= A1(s),sin(mu x),&x<s, A2(s),sin(mu x)+B2(s),cos(mu x),&x>s

Passo 3

Aplicamos a condição G'l(tfracpi2,sr)=0. Para x>!s:
G'(x,s)=A2(s),mucos(mu x)-B2(s),musin(mu x),
logo em x=tfracpi2
mul[A2(s)cosl(mupi2r)-B2(s)sinl(mupi2r)r]=0 Longrightarrow A2(s)cosl(mupi2r)=B2(s)sinl(mupi2r)

Passo 4

Impondo continuidade em x=s:
A1(s),sin(mu s) = A2(s),sin(mu s)+B2(s),cos(mu s)
E o salto da derivada impõe
G'x(s^+,s)-G'x(s^-,s)=1,
ou seja
l[A2mucos(mu s)-B2musin(mu s)r] - l[A1mucos(mu s)r] =1

Passo 5

Resolvendo o sistema para A1(s),A2(s),B2(s) (e usando muneq1,3,5,dots para garantir cos(mupi/2)neq0) resulta
A1(s)&=-1mucos!l(mupi2r), cos!l(mu s-mupi2r), A2(s)&=-1mucos!l(mupi2r), sin(mu s),tan!l(mupi2r), B2(s)&=-1mu,sin(mu s)

Passo 6

Substituindo em cada ramo e reorganizando, fica claro que a forma simétrica é
G(x,s) =1mucos!(mupi2) sin(mu x),cos!(mu(pi2-s)),&0<= x<= s<=pi2,[1ex] sin(mu s),cos!(mu(pi2-x)),&0<= s<= x<=pi2 ]

Resposta

boxed G(x,s) =1mucos!l(mupi2r) sin(mu x),cos!l(mu(tfracpi2-s)r),&x<= s, sin(mu s),cos!l(mu(tfracpi2-x)r),&x>= s

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