Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 11. (F. 10.1, ex.2.6)
em que
Exercício 11. (F. 10.1, ex.2.6)
Passo 1
O problema é achar a função de Green para
com as condições de contorno
e em que
não anula o denominador que vai aparecer (ou seja,
).
Como o operador é auto-adjunto nessas CC, a função de Green satisfaz
Como o operador
com as mesmas condições de contorno em
.
Passo 2
Para
a função de Green satisfaz a equação homogênea
cuja solução geral é
A condição
obriga
. Portanto, escrevemos
Passo 3
Aplicamos a condição
. Para
:
logo em
Passo 4
Impondo continuidade em
:
E o salto da derivada impõe
ou seja
Passo 5
Resolvendo o sistema para
(e usando
para garantir
) resulta
Passo 6
Substituindo em cada ramo e reorganizando, fica claro que a forma simétrica é