Q. 7. É correto afirmar:
(a) lim x a f(x)=-infty Leftrightarrow forall N<0, exists de<a>0 tal que f(x)<N se 0<|x-a|<de<a;
(b) lim x +infty f(x)=-infty Leftrightarrow forall N<0, exists n>0 tal que f(x)<N se x<n;
(c) lim x a f(x)=+infty Leftrightarrow forall M>0, exists de<a tal que f(x)>M se x>de<a;
(d) lim x a^+ f(x)=+infty Leftrightarrow forall M>0, exists de<a>0 tal que f(x)>M se 0<|x-a|<de<a.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais afirmações correspondem corretamente às definições de limite infinito, isto é:
limxto af(x)=-infty
limxto+inftyf(x)=-infty
limxto af(x)=+infty
limxto a^+f(x)=+infty
Lembrando as definições formais:
limxto af(x)=-infty significa “para todo N<0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-a|<de<a, então f(x)<N
limxto+inftyf(x)=-infty significa “para todo N<0 existe X tal que, se x>X, então f(x)<N
limxto af(x)=+infty significa “para todo M>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-a|<de<a, então f(x)>M
limxto a^+f(x)=+infty significa “para todo M>0 existe de<a>0 tal que, se 0<x-a<de<a, então f(x)>M

Passo 2

Analisando (a):
limxto af(x)=-inftyiffforall N<0,existsde<a>0 tal que f(x)<N se 0<|x-a|<de<a.
Isto bate exatamente com a definição formal. Logo, (a) está correta.

Passo 3

Analisando (b):
Diz “ limxto+inftyf(x)=-inftyiffforall N<0,exists n>0 tal que f(x)<N se x<n”.
Mas a condição certa é “se x>n”, não x<n. Portanto, (b) está errada.

Passo 4

Analisando (c):
Diz “ limxto af(x)=+inftyiffforall M>0,exists de<a tal que f(x)>M se x>de<a”.
Aqui misturaram o critério de vizinhança de a com “ x>de<a”, quando o correto é “ 0<|x-a|<de<a”. Logo, (c) está errada.

Passo 5

Analisando (d):
Diz “ limxto a^+f(x)=+inftyiffforall M>0,existsde<a>0 tal que f(x)>M se 0<|x-a|<de<a”.
No limite pela direita, a condição deve ser 0<x-a<de<a, não 0<|x-a|<de<a (que inclui x<a). Então, (d) está errada.

Resposta

(a)

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