Questão 2 (2,0 pontos)
(a) Encontre a expansão em série de Fourier da função com período
(b) Dando um valor conveniente a
x , mostre que
pi4=11-13+15-17+cdots
Passo 1
O enunciado pede (a) a expansão em série de Fourier de período
e (b), ao atribuir um valor conveniente a , e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes
Passo 2
Calcular
a0 ,
an e
bn .
Comof(x)=0 em
-pi<x<0 e
f(x)=6 em
0<= x<=pi , temos
Como
Para
n>=1 ,
pois
sin(npi)=0 .
E
E
Passo 3
Montar a série de Fourier.
Comoan=0 para todo
n>=1 e
b2m+1=12/[pi(2m+1)] , a expansão fica
Como
Passo 4
Para a parte (b), escolhemos
logo a série em (x=\tfrac{\pi}{2}] dá
que é exatamente
que é exatamente
Resposta
(a)
(b)