Questão 2 (2,0 pontos)

(a) Encontre a expansão em série de Fourier da função com período 2 pi
f(x)=rcr 0 & se & -pi<x<0 6 & se & 0 <= x <= pi
(b) Dando um valor conveniente a x, mostre que
pi4=11-13+15-17+cdots

Passo 1

O enunciado pede (a) a expansão em série de Fourier de período
e (b), ao atribuir um valor conveniente a , e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes

Passo 2

Calcular a0, an e bn.
Como f(x)=0 em -pi<x<0 e f(x)=6 em 0<= x<=pi, temos
a0 =1piintegral-pi^pif(x),dx =1piintegral0^pi6,dx =6pipi=6
Para n>=1,
an =1piintegral0^pi6cos(nx),dx =6pil[sin(nx)nr]0^pi =6pisin(npi)-0n=0,
pois sin(npi)=0.
E
bn =1piintegral0^pi6sin(nx),dx =6pil[-cos(nx)nr]0^pi =6pi1-(-1)^nn = 0, & n par, 12pi(2m+1), & n=2m+1

Passo 3

Montar a série de Fourier.
Como an=0 para todo n>=1 e b2m+1=12/[pi(2m+1)], a expansão fica
f(x) =a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r) =3+summ=0^infty12pi(2m+1)sinl((2m+1)xr)

Passo 4

Para a parte (b), escolhemos
logo a série em (x=\tfrac{\pi}{2}] dá

que é exatamente

Resposta

(a)
f(x) =3+12pisumm=0^inftysinl((2m+1)xr)2m+1
(b)
pi4 =1-13+15-17+cdots

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