Ache a função
satisfazendo
e
é uma função contínua em 0 .
Passo 1
O enunciado pede pra achar uma função contínua em 0 que satisfaça a equação diferencial de primeira ordem linear
Conteúdo: equação diferencial linear do tipo e fator integrante
Conteúdo: equação diferencial linear do tipo
Passo 2
Vamos reescrever a equação no formato padrão dividindo por
(para
):
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Desprezando a constante, temos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
para obter a forma exata:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 5
Fazendo a integral no lado direito, usamos a substituição
,
:
Logo
Passo 6
Voltando à variável original:
Essa é a solução geral para
.
Passo 7
Impondo continuidade em
:
Para , o termo
se
. Para
, esse termo vai a 0. Só assim dá continuidade em 0 se
.
Para
Passo 8
Portanto a única solução contínua em 0 é
E para fechar a continuidade definimos
.