Ache a função y: R R satisfazendo
x^2 y^prime+(1-2 x) y=x^2, forall x in R e y é uma função contínua em 0 .

Passo 1

O enunciado pede pra achar uma função contínua em 0 que satisfaça a equação diferencial de primeira ordem linear
Conteúdo: equação diferencial linear do tipo y' + P(x)y = Q(x) e fator integrante

Passo 2

Vamos reescrever a equação no formato padrão dividindo por x^2 (para xneq0):
y' + 1 - 2xx^2,y = 1
Aqui P(x)=1 - 2xx^2 e Q(x)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx:
integral P(x),dx = integrall(x^-2 - 2x^-1r)dx = -tfrac1x -2ln|x| + C
Desprezando a constante, temos
mu(x)=e^-1/x,e^-2ln|x|=e^-1/x,x^-2 .

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) para obter a forma exata:
ddxl(mu(x)yr)=mu(x),Q(x)=e^-1/xx^-2cdot1
Agora integramos ambos os lados:

Passo 5

Fazendo a integral no lado direito, usamos a substituição t=1/x, dt=-x^-2dx:
integral e^-1/xx^-2dx = -integral e^-tdt = e^-t + D = e^-1/x + D
Logo
mu(x)y = e^-1/x + D .

Passo 6

Voltando à variável original:
y = e^1/xx^2l(e^-1/x + Dr) = x^2 + D,x^2e^1/x
Essa é a solução geral para xneq0.

Passo 7

Impondo continuidade em x=0:
Para xto0^+, o termo x^2e^1/xto+infty se Dneq0. Para xto0^-, esse termo vai a 0. Só assim dá continuidade em 0 se D=0.

Passo 8

Portanto a única solução contínua em 0 é
y(x)=x^2
E para fechar a continuidade definimos y(0)=0.

Resposta

y(x)=x^2

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