Ache a função y: R R satisfazendo
y^prime+(cos x) y=2 x e^-sen x e y(pi)=0.

Passo 1

Temos a EDO y' + (cos x),y = 2x e^-sin x com condição y(pi)=0. É uma equação diferencial linear de 1ª ordem, e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral cos x,dx = e^sin x

Passo 3

Multiplicando a EDO original por mu(x), o lado esquerdo vira a derivada do produto e^sin xy:
e^sin xy' + e^sin xcos x,y = (e^sin xy)'
O lado direito fica
2x e^-sin x cdot e^sin x = 2x
Então
(e^sin xy)' = 2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^sin xy = integral 2x,dx = x^2 + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(pi)=0. Como sinpi=0, temos
e^sinpiy(pi) = pi^2 + C implies 1cdot 0 = pi^2 + C implies C = -pi^2

Passo 6

Substituindo C na expressão geral, a solução final é
y = (x^2 - pi^2)e^-sin x

Resposta

y = (x^2 - \pi2)e{-\sin x}

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