Resolva as seguintes equações diferenciais não lineares e dê a solução na forma explicita (quando for possível)
sen theta cos varphi d theta-cos theta sen varphi d varphi=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação sinthetacosvarphi,dtheta - costhetasinvarphi,dvarphi = 0. O conteúdo envolve equações diferenciais separáveis e vamos tratar varphi como função de theta.

Passo 2

Reescrevemos a equação igualando os termos de dtheta e dvarphi:
sinthetacosvarphi,dtheta = costhetasinvarphi,dvarphi

Passo 3

Dividindo por costhetasinvarphi e isolando a derivada, obtemos
dvarphidtheta = sinthetacosvarphicosthetasinvarphi = tantheta,cotvarphi

Passo 4

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por tanvarphi:
tanvarphi,dvarphi = tantheta,dtheta

Passo 5

Integramos cada lado usando integraltan u,du = -ln|cos u| + C:
integraltanvarphi,dvarphi = integraltantheta,dtheta implies -ln|cosvarphi| = -ln|costheta| + C

Passo 6

Reorganizando e exponenciando, obtemos
ln|cosvarphi||costheta| = C Longrightarrow cosvarphicostheta = K
onde K=e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
cosvarphi = Kcostheta
ou, de forma explícita,
varphi(theta) = arccosl(Kcosthetar)
com K constante de integração.

Exercícios relacionados