Ache a função y: R R satisfazendo
y^prime+y=x^3+e^3 x e y(0)=1.

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução de uma equação diferencial linear de 1ª ordem não homogênea, especificamente
y′+y=x3+e{3x}, com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver, aplicando teoria de equações lineares e integração por partes.

Passo 2

A equação tem a forma padrão y′+P(x),y=Q(x) com P(x)=1. Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^x, obtendo
e^x y+e^x y=(x^3+e^3x)e^x=x^3e^x+e^4x
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(e^x yr)=x^3e^x+e^4x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y=integral x^3e^x,dx+integral e^4x,dx
Para integral x^3e^x,dx usamos integração por partes repetidas e obtemos
integral x^3e^x,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C1
E para (\displaystyle\int e{4x},dx=\tfrac{1}{4}e{4x}+C_2.]

Passo 5

Somando as integrais e reunindo constantes ( C=C1+C2), temos
e^x y=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+14e^4x+C
Dividindo por e^x obtemos a solução geral:
y=x^3-3x^2+6x-6+14e^3x+Ce^-x

Passo 6

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=1:
y(0)=-6+tfrac14+C=1implies C=1+6-tfrac14=274
Portanto, a solução particular é obtida substituindo C.

Resposta

\displaystyle y(x)=x3-3x2+6x-6+\frac{1}{4}e{3x}+\frac{27}{4}e{-x}

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