Ache a função
satisfazendo
e
.
Passo 1
O problema pede para encontrar a solução de uma equação diferencial linear de 1ª ordem não homogênea, especificamente
y′+y=x3+e{3x}, com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver, aplicando teoria de equações lineares e integração por partes.
y′+y=x3+e{3x}, com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver, aplicando teoria de equações lineares e integração por partes.
Passo 2
A equação tem a forma padrão y′+P(x),y=Q(x) com P(x)=1. Calculamos o fator integrante
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Para
usamos integração por partes repetidas e obtemos
E para (\displaystyle\int e{4x},dx=\tfrac{1}{4}e{4x}+C_2.]
Passo 5
Somando as integrais e reunindo constantes (
), temos
Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 6
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Portanto, a solução particular é obtida substituindo
.
Resposta
\displaystyle y(x)=x3-3x2+6x-6+\frac{1}{4}e{3x}+\frac{27}{4}e{-x}