Seja gamma:[a, b] longrightarrow R^3 uma curva parametrizada definida por:
l x(t)=t y(t)=t^2 z(t)=t^3
Determine os pontos da curyas nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4,4,3).
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Resolvedor de Listas - Responde

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica gamma(t)=(t,t^2,t^3) e pede os pontos onde o vetor tangente é paralelo a (4,4,3). Vamos usar derivada de curvas para obter gamma'(t) e o conceito de paralelismo: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos o vetor tangente:
gamma'(t)=l(x'(t),y'(t),z'(t)r)=(1,2t,3t^2)

Passo 3

Para exigir paralelismo, colocamos
(1,2t,3t^2)=lambda,(4,4,3)
Isso gera as igualdades por componente:
1=4lambda, 2t=4lambda, 3t^2=3lambda

Passo 4

Da primeira temos lambda=1/4. Substituindo na segunda,
2t=4cdottfrac14=1implies t=tfrac12
Para a terceira:
3l(tfrac12r)^2=3/4e3lambda=3/4,
vê-se que bate certinho, confirmando t=1/2.

Passo 5

Agora achamos o ponto na curva:
gammal(tfrac12r)=l(tfrac12,(tfrac12)^2,(tfrac12)^3r)=(tfrac12,tfrac14,tfrac18)

Resposta

(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18)

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