Ache a função y: R R satisfazendo
(x^3-x) y^prime+(2 x+1) y=x^2(x+1)^32, forall x>1 e y(3)=5.

Passo 1

Resumo do enunciado: a equação dada é uma ODE de primeira ordem linear, definida para x>1, com a forma, em notação geral,, (x³–x) y’ + (2x+1) y = x²(x+1)^{3/2} e condição inicial y(3)=5. Vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Colocar em forma padrão: dividindo tudo por x³–x = x(x²–1) temos
y' + 2x+1x(x-1)(x+1),y = x^2(x+1)^3/2x(x-1)(x+1) = x(x+1)^1/2x-1

Passo 3

Calcular o fator integrante μ(x): seja P(x)=\frac{2x+1}{x(x-1)(x+1)}. Fazendo frações parciais obtemos
P(x) = -1x + 3/2x-1 - 1/2x+1 Logo
integral P(x),dx = -ln|x| + tfrac32ln|x-1| - tfrac12ln|x+1| + C0, e escolhemos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x)dx = (x-1)^3/2x,(x+1)^1/2

Passo 4

Multiplicar a ODE por μ(x) leva a
ddx[mu(x)y] = mu(x),x(x+1)^1/2x-1 = (x-1)^1/2 Integrando,
mu(x)y = integral (x-1)^1/2dx = 23(x-1)^3/2 + C

Passo 5

Expressão geral e condição inicial: isolamos y = [2/3 (x-1)^{3/2} + C] / μ(x) e aplicamos y(3)=5. Fazendo isso, encontramos C = \tfrac{\sqrt2}{3}.
Substituindo C na expressão geral de y e simplificando, obtemos a solução particular que satisfaz y(3)=5.

Resposta

y(x)=23,x,raizx+1+raiz23,x,raizx+1(x-1)^3/2

Exercícios relacionados