Ache a função
satisfazendo
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a equação dada é uma ODE de primeira ordem linear, definida para x>1, com a forma, em notação geral,, (x³–x) y’ + (2x+1) y = x²(x+1)^{3/2} e condição inicial y(3)=5. Vamos resolver usando fator integrante.
Passo 2
Colocar em forma padrão: dividindo tudo por x³–x = x(x²–1) temos
Passo 3
Calcular o fator integrante μ(x): seja P(x)=\frac{2x+1}{x(x-1)(x+1)}. Fazendo frações parciais obtemos
Passo 4
Multiplicar a ODE por μ(x) leva a
Passo 5
Expressão geral e condição inicial: isolamos y = [2/3 (x-1)^{3/2} + C] / μ(x) e aplicamos y(3)=5. Fazendo isso, encontramos C = \tfrac{\sqrt2}{3}.
Substituindo C na expressão geral de y e simplificando, obtemos a solução particular que satisfaz y(3)=5.
Substituindo C na expressão geral de y e simplificando, obtemos a solução particular que satisfaz y(3)=5.