Ache o intervalo em que a curva é côncava para cima
Passo 1
Enunciado:
.
O que é pedido: encontrar o intervalo (ou intervalos) de nos quais a curva é côncava para cima.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é dada por uma integral definida cujo integrando é . A integral tem limite inferior
e limite superior
.
O que é pedido: encontrar o intervalo (ou intervalos) de
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é dada por uma integral definida cujo integrando é
Passo 2
Primeiro passo prático: obter as derivadas necessárias para estudar concavidade. Lembre que para decidir concavidade de uma função precisamos da segunda derivada. Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para derivada de integral com variável superior). Esse teorema diz o seguinte: se
e
é contínua perto de
, então
No nosso caso
, que é contínua em todo
(vou justificar isso depois). Portanto
Passo 3
Agora precisamos de
, a derivada de
. Temos uma função do tipo
. A regra para derivar é
que vem da regra da cadeia aplicada a
com
. Aqui
. Calculando
obtemos
Aplicando a fórmula,
Passo 4
Antes de analisar o sinal de
, verifiquemos o sinal do denominador. Note que
Podemos completar o quadrado ou olhar o discriminante: o discriminante é
, ou escrever
que é sempre estritamente positivo para todo
. Assim
para todo
. Conclusão: o sinal de
é o oposto do sinal de
.
Passo 5
Agora resolvemos a inequação que determina concavidade para cima. Uma curva é côncava para cima quando
. Com a expressão
e sabendo que o denominador é sempre positivo, temos
Resolvendo
obtemos
Passo 6
Interpretação final: a segunda derivada é positiva exatamente quando
. Portanto a curva é côncava para cima no intervalo
. (Como comentário extra, em
a segunda derivada muda de sinal, logo há inflexão nesse ponto.)