Ache o intervalo em que a curva é côncava para cima
y=\int_{1}^{x} \frac{1}{1+t+t^{2}} d t

Passo 1

Enunciado: y=\int_{1}^{x} \frac{1}{1+t+t^{2}}\,dt.
O que é pedido: encontrar o intervalo (ou intervalos) de x nos quais a curva é côncava para cima.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é dada por uma integral definida cujo integrando é \frac{1}{1+t+t^{2}}. A integral tem limite inferior 1 e limite superior x.

Passo 2

Primeiro passo prático: obter as derivadas necessárias para estudar concavidade. Lembre que para decidir concavidade de uma função precisamos da segunda derivada. Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para derivada de integral com variável superior). Esse teorema diz o seguinte: se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt e f é contínua perto de x, então
F'(x)=f(x).
No nosso caso f(t)=\dfrac{1}{1+t+t^{2}}, que é contínua em todo \mathbb{R} (vou justificar isso depois). Portanto
y'(x)=\frac{1}{1+x+x^{2}}.

Passo 3

Agora precisamos de y''(x), a derivada de y'(x). Temos uma função do tipo h(x)=\big(g(x)\big)^{-1}. A regra para derivar é
\frac{d}{dx}\big(g(x)^{-1}\big) = -\frac{g'(x)}{(g(x))^{2}},
que vem da regra da cadeia aplicada a u^{-1} com u=g(x). Aqui g(x)=1+x+x^{2}. Calculando g'(x) obtemos
g'(x)=1+2x.
Aplicando a fórmula,
y''(x) = -\frac{1+2x}{(1+x+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Antes de analisar o sinal de y''(x), verifiquemos o sinal do denominador. Note que
1+x+x^{2}=x^{2}+x+1.
Podemos completar o quadrado ou olhar o discriminante: o discriminante é b^{2}-4ac=1-4=-3<0, ou escrever
x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4},
que é sempre estritamente positivo para todo x. Assim (1+x+x^{2})^{2}>0 para todo x. Conclusão: o sinal de y''(x) é o oposto do sinal de 1+2x.

Passo 5

Agora resolvemos a inequação que determina concavidade para cima. Uma curva é côncava para cima quando y''(x)>0. Com a expressão
y''(x) = -\frac{1+2x}{(1+x+x^{2})^{2}},
e sabendo que o denominador é sempre positivo, temos
y''(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(1+2x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+2x<0.
Resolvendo 1+2x<0 obtemos
2x<-1 \quad\Longrightarrow\quad x<-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final: a segunda derivada é positiva exatamente quando x<-\tfrac{1}{2}. Portanto a curva é côncava para cima no intervalo (-\infty,-\tfrac{1}{2}). (Como comentário extra, em x=-\tfrac{1}{2} a segunda derivada muda de sinal, logo há inflexão nesse ponto.)

Resposta

(-\infty,-\tfrac{1}{2})

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