Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou explicar por que ela não existe. Dados relevantes: os limites de integração são
e
(assume-se em radianos) e a função integranda é
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se a integral própria existe (ou seja, se a função é contínua em
), porque o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2) exige continuidade para aplicar diretamente a fórmula com uma primitiva. Observações importantes:
- Em notação mais usual,
e . - A função
pode ser escrita como . - Sinais de
: para todo em temos . Como e satisfazem , concluímos que para todo .
Portantoe são bem definidas e finitas em , logo é contínua em . Isso garante que a integral própria existe e que podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2).
Explicando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2), de forma clara: se
é contínua em
e
é qualquer primitiva de
(ou seja,
para todo
em
), então
Aqui
e
são os limites de integração,
é a função integranda, e
é uma função cuja derivada é
. Esse resultado transforma o cálculo da integral definida em avaliar uma primitiva nos extremos.
Passo 3
Agora vamos achar uma primitiva de
. Uma observação útil (e muito comum em provas) é relacionar com a derivada de
. Vamos calcular a derivada de
passo a passo usando
:
- Derivada de
é . - Usando a regra da derivada de
: . Aplicando com ,
- Reescrevendo
em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Logo
Isso nos diz que a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
(Verificação rápida:
. Perfeito.)
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2) com
,
e primitiva
, temos
Simplificando,
Aqui
e
estão em radianos; a expressão está em termos de funções trigonométricas avaliadas nesses pontos.