Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
\int_{1}^{2} \operatorname{cossec} \theta \operatorname{cotg} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \operatorname{cossec}\theta\operatorname{cotg}\theta\,d\theta
ou explicar por que ela não existe. Dados relevantes: os limites de integração são 1 e 2 (assume-se em radianos) e a função integranda é \operatorname{cossec}\theta\operatorname{cotg}\theta.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a integral própria existe (ou seja, se a função é contínua em [1,2]), porque o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2) exige continuidade para aplicar diretamente a fórmula com uma primitiva. Observações importantes:
  • Em notação mais usual, \operatorname{cossec}\theta=\csc\theta e \operatorname{cotg}\theta=\cot\theta.
  • A função \csc\theta\cot\theta pode ser escrita como \dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.
  • Sinais de \sin\theta: para todo \theta em (0,\pi) temos \sin\theta>0. Como 1 e 2 satisfazem 0<1<2<\pi, concluímos que \sin\theta\neq0 para todo \theta\in[1,2].
    Portanto \csc\theta e \cot\theta são bem definidas e finitas em [1,2], logo \csc\theta\cot\theta é contínua em [1,2]. Isso garante que a integral própria existe e que podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2).
Explicando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2), de forma clara: se f é contínua em [a,b] e F é qualquer primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a e b são os limites de integração, f é a função integranda, e F é uma função cuja derivada é f. Esse resultado transforma o cálculo da integral definida em avaliar uma primitiva nos extremos.

Passo 3

Agora vamos achar uma primitiva de f(\theta)=\csc\theta\cot\theta. Uma observação útil (e muito comum em provas) é relacionar com a derivada de \csc\theta. Vamos calcular a derivada de \csc\theta passo a passo usando \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}:
  • Derivada de \sin\theta é \cos\theta.
  • Usando a regra da derivada de 1/g(\theta): \dfrac{d}{d\theta}\bigl(\dfrac{1}{g(\theta)}\bigr) = -\dfrac{g'(\theta)}{g(\theta)^2}. Aplicando com g(\theta)=\sin\theta,
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = -\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.
  • Reescrevendo -\dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta} em termos de funções trigonométricas conhecidas:
-\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} = -\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)\left(\frac{1}{\sin\theta}\right) = -\cot\theta\;\csc\theta.
Logo
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = -\csc\theta\cot\theta.
Isso nos diz que a derivada de -\csc\theta é \csc\theta\cot\theta. Portanto uma primitiva de f(\theta)=\csc\theta\cot\theta é
F(\theta) = -\csc\theta.
(Verificação rápida: F'(\theta) = -\bigl(\csc\theta\bigr)' = -(-\csc\theta\cot\theta)=\csc\theta\cot\theta. Perfeito.)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2) com a=1, b=2 e primitiva F(\theta)=-\csc\theta, temos
\int_{1}^{2} \csc\theta\cot\theta\,d\theta = F(2)-F(1) = \bigl(-\csc 2\bigr)-\bigl(-\csc 1\bigr).
Simplificando,
\int_{1}^{2} \csc\theta\cot\theta\,d\theta = \csc 1 - \csc 2.
Aqui 1 e 2 estão em radianos; a expressão está em termos de funções trigonométricas avaliadas nesses pontos.

Resposta

\csc 1 - \csc 2

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