Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: calcular a integral definida
Dados relevantes que o enunciado dá:
- A função integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A pergunta é: calcular o valor numérico de
ou explicar por que essa integral não existe.
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2 (forma usada aqui): se uma função
é contínua no intervalo
e
é uma primitiva de
em
(isto é,
para todo
), então
Explicando em palavras simples: para calcular uma integral definida, basta achar uma função
cuja derivada seja o integrando
(essa
chama-se primitiva ou antiderivada) e então avaliar
nos extremos e subtrair:
. Para podermos aplicar o teorema é suficiente que
seja contínua em
.
Passo 3
Verificar a continuidade do integrando e a existência de primitiva aplicável: a função
é continua em
porque o denominador
nunca é zero (para todo
,
). Logo
é contínua em
e o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2 pode ser aplicado: basta encontrar uma primitiva de
.
Passo 4
Encontrar uma primitiva de
. Observação importante e lembrança: a derivada da função arco-tangente é
Mini-prova dessa identidade (passo a passo): seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando derivada implícita),
Logo
Mas
e como
temos
. Portanto
.
Usando isso, uma primitiva de
é
. Multiplicando por
, uma primitiva de
é
pois
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2: como
é primitiva de
em
, temos
Conhecimentos de ângulos:
porque
, e
. Substituindo,