Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
\int_{0}^{1} \frac{4}{1+t^{2}} d t

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{4}{1+t^{2}}\,d t.
Dados relevantes que o enunciado dá:
  • A função integrando é f(t)=\dfrac{4}{1+t^{2}}.
  • Os limites de integração são a=0 e b=1.
  • A pergunta é: calcular o valor numérico de \int_{0}^{1}\dfrac{4}{1+t^{2}}\,d t ou explicar por que essa integral não existe.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2 (forma usada aqui): se uma função f é contínua no intervalo [a,b] e F é uma primitiva de f em [a,b] (isto é, F'(x)=f(x) para todo x\in[a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,d x = F(b)-F(a).
Explicando em palavras simples: para calcular uma integral definida, basta achar uma função F cuja derivada seja o integrando f (essa F chama-se primitiva ou antiderivada) e então avaliar F nos extremos e subtrair: F(b)-F(a). Para podermos aplicar o teorema é suficiente que f seja contínua em [a,b].

Passo 3

Verificar a continuidade do integrando e a existência de primitiva aplicável: a função
f(t)=\frac{4}{1+t^{2}}
é continua em [0,1] porque o denominador 1+t^{2} nunca é zero (para todo t, 1+t^{2}\ge 1>0). Logo f é contínua em [0,1] e o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2 pode ser aplicado: basta encontrar uma primitiva de f.

Passo 4

Encontrar uma primitiva de f. Observação importante e lembrança: a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Mini-prova dessa identidade (passo a passo): seja y=\arctan x. Então \tan y=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando derivada implícita),
\operatorname{sec}^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}=\cos^{2}y.
Mas \cos^{2}y=1/(1+\tan^{2}y) e como \tan y=x temos \cos^{2}y=1/(1+x^{2}). Portanto \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Usando isso, uma primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t. Multiplicando por 4, uma primitiva de \dfrac{4}{1+t^{2}} é
F(t)=4\arctan t,
pois F'(t)=4\cdot \dfrac{1}{1+t^{2}}=\dfrac{4}{1+t^{2}}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte 2: como F(t)=4\arctan t é primitiva de f em [0,1], temos
\int_{0}^{1} \frac{4}{1+t^{2}}\,d t = F(1)-F(0) = 4\arctan(1) - 4\arctan(0).
Conhecimentos de ângulos: \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} porque \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1, e \arctan(0)=0. Substituindo,
4\arctan(1) - 4\arctan(0) = 4\cdot \frac{\pi}{4} - 4\cdot 0 = \pi.

Resposta

\pi

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