Ache a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: “Ache a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan.” A matriz dada é
Informações relevantes fornecidas:
- Precisa-se calcular
. - Deve-se usar o método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada
em por operações elementares de linha). - A matriz é
.
Passo 2
Breve explicação do método (para eu te ensinar como fazer na prova):
- Monta-se a matriz aumentada
, onde é a matriz identidade . - Usa-se operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra.
- O objetivo é obter, à esquerda, a matriz identidade. As mesmas operações aplicadas na parte direita transformam
em . - Cada operação será escrita na forma
(expressão), significando “substituir a linha pela expressão indicada”.
Agora montamos a matriz aumentada inicial:
Passo 3
Primeiro pivô:
(já é 1). Elimino as entradas abaixo na coluna 1 usando
:
-
. -
. -
.
Calculemos cada nova linha (mostrando esquerda e direita da augmentação).
-
novo: esquerda . Direita . -
novo: esquerda . Direita . -
novo: esquerda . Direita .
Aumentada fica:
Passo 4
Segundo pivô: elemento na posição
é
(bom). Elimino as outras entradas na coluna 2:
-
. -
. -
.
Calculemos:
-
novo: esquerda . Direita . -
novo: esquerda . Direita . -
novo: esquerda . Direita .
Aumentada fica:
Passo 5
Terceiro pivô: elemento na posição
é
. Elimino as outras entradas na coluna 3:
-
(para zerar em ). -
. -
.
Calculemos:
-
novo: esquerda . Direita . -
novo: esquerda (mais diretamente ). Direita . -
novo: esquerda . Direita .
Aumentada fica:
Passo 6
Quarto pivô: elemento na posição
é
. Normalizo o pivô dividindo
por
:
-
.
Cálculo:
-
novo esquerda: . -
novo direita: .
Agora a aumentada é:
Passo 7
Faço a eliminação final para zerar as entradas acima do pivô na coluna 4:
-
. -
(porque tem na coluna 4). -
(porque tem na coluna 4).
Calculemos as partes direitas (já que a parte esquerda vai virar identidade):
-
direita: -
direita: -
direita:
Depois dessas operações, a parte esquerda é a identidade
e a parte direita é exatamente
. A aumentada final é
Passo 8
Interpretação final: a parte direita da aumentada final é a matriz inversa pedida. Cada entrada foi obtida apenas por operações elementares de linha (assim, esse procedimento é reproduzível na prova passo a passo). Se quiser checar: multiplicando
por
obtém-se
(ex.: verificação rápida para a primeira coluna deu
).