Ache a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan.
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & -4 \\\\ 2 & 3 & 5 & -5 \\\\ 3 & -4 & -5 & 8 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: “Ache a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan.” A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & -4 \\\\ 2 & 3 & 5 & -5 \\\\ 3 & -4 & -5 & 8 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Precisa-se calcular A^{-1}.
  • Deve-se usar o método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada [A\mid I] em [I\mid A^{-1}] por operações elementares de linha).
  • A matriz é 4\times4.

Passo 2

Breve explicação do método (para eu te ensinar como fazer na prova):
  • Monta-se a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a matriz identidade 4\times4.
  • Usa-se operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra.
  • O objetivo é obter, à esquerda, a matriz identidade. As mesmas operações aplicadas na parte direita transformam I em A^{-1}.
  • Cada operação será escrita na forma R_i := (expressão), significando “substituir a linha i pela expressão indicada”.
Agora montamos a matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 & -4 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 5 & -5 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -4 & -5 & 8 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 3

Primeiro pivô: a_{11}=1 (já é 1). Elimino as entradas abaixo na coluna 1 usando R_1:
  • R_2 := R_2 - R_1.
  • R_3 := R_3 - 2R_1.
  • R_4 := R_4 - 3R_1.
Calculemos cada nova linha (mostrando esquerda e direita da augmentação).
  • R_2 novo: esquerda (1,2,3,-4)-(1,1,1,1)=(0,1,2,-5). Direita (0,1,0,0)-(1,0,0,0)=(-1,1,0,0).
  • R_3 novo: esquerda (2,3,5,-5)-2(1,1,1,1)=(0,1,3,-7). Direita (0,0,1,0)-2(1,0,0,0)=(-2,0,1,0).
  • R_4 novo: esquerda (3,-4,-5,8)-3(1,1,1,1)=(0,-7,-8,5). Direita (0,0,0,1)-3(1,0,0,0)=(-3,0,0,1).
Aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -8 & 5 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Segundo pivô: elemento na posição (2,2) é 1 (bom). Elimino as outras entradas na coluna 2:
  • R_1 := R_1 - R_2.
  • R_3 := R_3 - R_2.
  • R_4 := R_4 + 7R_2.
Calculemos:
  • R_1 novo: esquerda (1,1,1,1)-(0,1,2,-5)=(1,0,-1,6). Direita (1,0,0,0)-(-1,1,0,0)=(2,-1,0,0).
  • R_3 novo: esquerda (0,1,3,-7)-(0,1,2,-5)=(0,0,1,-2). Direita (-2,0,1,0)-(-1,1,0,0)=(-1,-1,1,0).
  • R_4 novo: esquerda (0,-7,-8,5)+7(0,1,2,-5)=(0,0,6,-30). Direita (-3,0,0,1)+7(-1,1,0,0)=(-10,7,0,1).
Aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & -1 & 6 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 6 & -30 & -10 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Terceiro pivô: elemento na posição (3,3) é 1. Elimino as outras entradas na coluna 3:
  • R_1 := R_1 + R_3 (para zerar -1 em R_1).
  • R_2 := R_2 - 2R_3.
  • R_4 := R_4 - 6R_3.
Calculemos:
  • R_1 novo: esquerda (1,0,-1,6)+(0,0,1,-2)=(1,0,0,4). Direita (2,-1,0,0)+(-1,-1,1,0)=(1,-2,1,0).
  • R_2 novo: esquerda (0,1,2,-1)-(0,0,2,-4)=(0,1,0,-1) (mais diretamente (0,1,2,-5)-2(0,0,1,-2)=(0,1,0,-1)). Direita (-1,1,0,0)-2(-1,-1,1,0)=(1,3,-2,0).
  • R_4 novo: esquerda (0,0,6,-30)-6(0,0,1,-2)=(0,0,0,-18). Direita (-10,7,0,1)-6(-1,-1,1,0)=(-4,13,-6,1).
Aumentada fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 3 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -18 & -4 & 13 & -6 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Quarto pivô: elemento na posição (4,4) é -18. Normalizo o pivô dividindo R_4 por -18:
  • R_4 := \dfrac{1}{-18}R_4.
Cálculo:
  • R_4 novo esquerda: (0,0,0,1).
  • R_4 novo direita: \left(\dfrac{-4}{-18},\dfrac{13}{-18},\dfrac{-6}{-18},\dfrac{1}{-18}\right)=\left(\dfrac{2}{9},-\dfrac{13}{18},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{18}\right).
Agora a aumentada é:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 3 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{13}{18} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{18} \end{array}\right).]

Passo 7

Faço a eliminação final para zerar as entradas acima do pivô na coluna 4:
  • R_1 := R_1 - 4R_4.
  • R_2 := R_2 + R_4 (porque R_2 tem -1 na coluna 4).
  • R_3 := R_3 + 2R_4 (porque R_3 tem -2 na coluna 4).
Calculemos as partes direitas (já que a parte esquerda vai virar identidade):
  • R_1 direita: \bigl(1,-2,1,0\bigr)-4\bigl(\tfrac{2}{9},-\tfrac{13}{18},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{18}\bigr) =\Bigl(1-\tfrac{8}{9},\\\ -2+ \tfrac{52}{18},\\\ 1-\tfrac{4}{3},\\\ 0+\tfrac{4}{18}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{9},\\ \tfrac{8}{9},\\\ -\tfrac{1}{3},\\ \tfrac{2}{9}\Bigr).
  • R_2 direita: \bigl(1,3,-2,0\bigr)+\bigl(\tfrac{2}{9},-\tfrac{13}{18},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{18}\bigr) =\Bigl(\tfrac{11}{9},\\ \tfrac{41}{18},\\\ -\tfrac{5}{3},\\\ -\tfrac{1}{18}\Bigr).
  • R_3 direita: \bigl(-1,-1,1,0\bigr)+2\bigl(\tfrac{2}{9},-\tfrac{13}{18},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{18}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{5}{9},\\\ -\tfrac{22}{9},\\ \tfrac{5}{3},\\\ -\tfrac{1}{9}\Bigr).
Depois dessas operações, a parte esquerda é a identidade I_4 e a parte direita é exatamente A^{-1}. A aumentada final é
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{9} & \tfrac{8}{9} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{9}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{11}{9} & \tfrac{41}{18} & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{18}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{5}{9} & -\tfrac{22}{9} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{2}{9} & -\tfrac{13}{18} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{18} \end{array}\right).]

Passo 8

Interpretação final: a parte direita da aumentada final é a matriz inversa pedida. Cada entrada foi obtida apenas por operações elementares de linha (assim, esse procedimento é reproduzível na prova passo a passo). Se quiser checar: multiplicando A por A^{-1} obtém-se I (ex.: verificação rápida para a primeira coluna deu e_1).

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9}\\[8pt] \dfrac{11}{9} & \dfrac{41}{18} & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{1}{18}\\[8pt] -\dfrac{5}{9} & -\dfrac{22}{9} & \dfrac{5}{3} & -\dfrac{1}{9}\\[8pt] \dfrac{2}{9} & -\dfrac{13}{18} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{18} \end{pmatrix}

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