Ache a inversa da matriz usando a sua matriz adjunta.
D=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a inversa da matriz usando a sua matriz adjunta.” A matriz dada é
D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz D é uma matriz 4\times4 e é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
  • É solicitado explicitamente usar a matriz adjunta (adjugate) para obter a inversa.

Passo 2

O que é a matriz adjunta e como ela entra na fórmula da inversa (mini-aula rápida).
  • Para qualquer matriz quadrada A invertível, vale a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (adjugate), definida como a transposta da matriz dos cofatores.
  • O cofactor C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da matriz obtida removendo-se a linha i e a coluna j de A (chamada de menor complementar, um determinante 3\times3 aqui).
  • Em palavras: calculam-se todos os menores M_{ij}, aplicam-se os sinais (-1)^{i+j} para obter os cofatores C_{ij}, monta-se a matriz (C_{ij}) e transpõe-se para obter \operatorname{adj}(A). Finalmente divide-se por \det(A).

Passo 3

Calcular o determinante de D.
  • Como D é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(D)=1\cdot 3\cdot 2\cdot 3.
  • Portanto
\det(D)=18.
Observação: como \det(D)\neq 0, a inversa existe e a fórmula com adjunta é válida.

Passo 4

Estratégia prática para calcular os cofatores: aproveitar zeros e a estrutura em blocos.
  • A matriz D tem muitos zeros: as únicas entradas não nulas fora da diagonal estão em (1,2) e (3,4). Isso simplifica muito os menores 3\times3 (muitos terão linhas ou colunas nulas).
  • Vou calcular, um a um, os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Para cada M_{ij} basta montar a submatriz 3\times3 removendo linha i e coluna j e usar que, se essa submatriz é triangular (ou tem uma linha/coluna nula), o determinante fica simples.

Passo 5

Cálculo dos cofatores da primeira linha e segunda linha (detalhando os menores).
  • Para (i,j)=(1,1): remover linha 1 e coluna 1 dá
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
determinante M_{11}=3\cdot 2\cdot 3=18. Assim
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+18.
  • Para (1,2): remover linha 1 e coluna 2 dá uma matriz com primeira linha nula, logo M_{12}=0. Assim C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot 0=0.
  • Para (1,3): removendo linha 1 e coluna 3 obtém-se uma coluna inteira nula (primeira coluna), logo M_{13}=0 e C_{13}=0.
  • Para (1,4): removendo linha 1 e coluna 4 o último linha/coluna nula faz M_{14}=0 e C_{14}=0.
  • Agora segunda linha:
  • Para (2,1): remover linha 2 e coluna 1 dá
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
determinante M_{21}=2\cdot 2\cdot 3=12. Sinal (-1)^{2+1}=-1, então
C_{21}=-12.
  • Para (2,2): remover linha 2 e coluna 2 dá
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
determinante M_{22}=1\cdot 2\cdot 3=6, logo
C_{22}=+6.
  • Para (2,3) e (2,4): ao remover coluna 3 ou 4 aparece uma linha completamente nula em cada caso, então M_{23}=M_{24}=0 e C_{23}=C_{24}=0.]

Passo 6

Cálculo dos cofatores da terceira e quarta linha.
  • Terceira linha:
  • Para (3,1): remover linha 3 e coluna 1 produz uma submatriz com colunas que geram determinante zero, logo M_{31}=0 e C_{31}=0.
  • Para (3,2): similarmente M_{32}=0 e C_{32}=0.
  • Para (3,3): remover linha 3 e coluna 3 dá
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
determinante M_{33}=1\cdot 3\cdot 3=9, sinal positivo, então C_{33}=9.
  • Para (3,4): remover linha 3 e coluna 4 deixa a última linha nula, então M_{34}=0 e C_{34}=0.
  • Quarta linha:
  • Para (4,1) e (4,2): ao remover coluna 1 ou 2 a submatriz resultante tem determinante zero, então C_{41}=C_{42}=0.
  • Para (4,3): remover linha 4 e coluna 3 dá
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
determinante M_{43}=1\cdot 3\cdot 1=3. Sinal (-1)^{4+3}=-1, portanto
C_{43}=-3.
  • Para (4,4): remover linha 4 e coluna 4 dá
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
determinante M_{44}=1\cdot 3\cdot 2=6, sinal positivo, então C_{44}=6.]

Passo 7

Montar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e então a adjunta.
  • A matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -12 & 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 9 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 6 \end{pmatrix}.
  • A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(D)=C^{T}= \begin{pmatrix} 18 & -12 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 9 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Obter a inversa usando D^{-1}=\dfrac{1}{\det(D)}\operatorname{adj}(D).
  • Como \det(D)=18, divide-se cada entrada de \operatorname{adj}(D) por 18. Assim
D^{-1}=\frac{1}{18} \begin{pmatrix} 18 & -12 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 9 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
  • Simplificando frações obtém-se
D^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{3} & 0 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{3} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{6}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

D^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{3} & 0 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{3} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{6}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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