A matriz D é uma matriz 4\times4 e é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
É solicitado explicitamente usar a matriz adjunta (adjugate) para obter a inversa.
Passo 2
O que é a matriz adjunta e como ela entra na fórmula da inversa (mini-aula rápida).
Para qualquer matriz quadrada A invertível, vale a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (adjugate), definida como a transposta da matriz dos cofatores.
O cofactor C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da matriz obtida removendo-se a linha i e a coluna j de A (chamada de menor complementar, um determinante 3\times3 aqui).
Em palavras: calculam-se todos os menores M_{ij}, aplicam-se os sinais (-1)^{i+j} para obter os cofatores C_{ij}, monta-se a matriz (C_{ij}) e transpõe-se para obter \operatorname{adj}(A). Finalmente divide-se por \det(A).
Passo 3
Calcular o determinante de D.
Como D é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(D)=1\cdot 3\cdot 2\cdot 3.
Portanto
\det(D)=18.
Observação: como \det(D)\neq 0, a inversa existe e a fórmula com adjunta é válida.
Passo 4
Estratégia prática para calcular os cofatores: aproveitar zeros e a estrutura em blocos.
A matriz D tem muitos zeros: as únicas entradas não nulas fora da diagonal estão em (1,2) e (3,4). Isso simplifica muito os menores 3\times3 (muitos terão linhas ou colunas nulas).
Vou calcular, um a um, os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Para cada M_{ij} basta montar a submatriz 3\times3 removendo linha i e coluna j e usar que, se essa submatriz é triangular (ou tem uma linha/coluna nula), o determinante fica simples.
Passo 5
Cálculo dos cofatores da primeira linha e segunda linha (detalhando os menores).