O enunciado dá o sistema linear em x,y,z\):
\[\begin{cases} k x+2 y+k z=1,\\[2pt] 2 x+k y+8 z=8,\\[2pt] x+2 y+k z=1, \end{cases}
e pede para determinar os valores de (k] tais que o sistema tem:
(i) uma única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.
Informações relevantes fornecidas:
As três equações do sistema, com o parâmetro k aparecendo nas posições indicadas.
O vetor do termo independente é \begin{pmatrix}1\\[2pt]8\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 2
O que vamos usar (explicando a ideia de forma didática): para um sistema linear com 3 incógnitas podemos estudar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & 2 & k\\[4pt] 2 & k & 8\\[4pt] 1 & 2 & k \end{pmatrix}
e o vetor de constantes b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]8\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (única).
Explicação rápida: quando \det(A)\neq 0 as linhas/colunas de A são linearmente independentes e a transformação linear associada é bijetiva, logo existe solução única x=A^{-1}b.
Se \det(A)=0 então as linhas de A são linearmente dependentes e podem ocorrer dois casos:
sistema consistente com posto da matriz = posto da matriz aumentada <3 ⇒ infinitas soluções (mais de uma);
sistema inconsistente com posto da matriz aumentada > posto de A ⇒ nenhuma solução.
Portanto primeiro calculamos \det(A). Se ele for zero, investigamos a consistência por redução de linhas (rank da matriz e da matriz aumentada).]
Aqui a última linha é nula (0=0) e não há contradição. O posto da matriz de coeficientes é 2 e o posto da matriz aumentada também é 2. Como o posto é menor que o número de incógnitas (2<3), o sistema é consistente e tem infinitas soluções (mais de uma). Portanto para k=1 o sistema tem mais de uma solução.
(Poderíamos expressar as soluções em função de um parâmetro: por exemplo tomar z=t, resolver as duas equações independentes e obter famílias de soluções, mas aqui basta a classificação.)]
Passo 6
Caso k=4\). Substituindo \(k=4\) no sistema:
\[\begin{cases} 4x+2y+4z=1,\\[2pt] 2x+4y+8z=8,\\[2pt] x+2y+4z=1. \end{cases}
Agora R_2\leftarrow R_2-2R_1 dá R_2=[0\\\ 0\\\ 0\mid 6] e R_3\leftarrow R_3-4R_1 dá R_3=[0\\\ -6\\\ -12\mid -3]. A linha R_2 tornou-se [0\\\ 0\\\ 0\mid 6], ou seja, a igualdade 0=6, uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente: o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes. Conclusão: para k=4 não há solução.]
Passo 7
Caso k=-4\). Substituindo \(k=-4\) no sistema:
\[\begin{cases} -4x+2y-4z=1,\\[2pt] 2x-4y+8z=8,\\[2pt] x+2y-4z=1. \end{cases}
Agora note que os vetores de coeficientes das linhas R_2 e R_3 são múltiplos um do outro: [0\\\ 10\\\ -20]= -\tfrac{5}{4}[0\\\ -8\\\ 16]. Porém os termos independentes não satisfazem a mesma relação: 5\neq -\tfrac{5}{4}\cdot 6. Uma combinação linear das linhas de coeficientes que dá zero produz uma combinação que dá 50 no termo independente (ver demonstração: 5\cdot R_2 +4\cdot R_3 dá [0\\\ 0\\\ 0\mid 50]), isto é, uma contradição 0=50. Portanto o sistema é inconsistente para k=-4: não há soluções.]
Passo 8
Resumo lógico:
Para k\notin\{-4,1,4\} temos \det(A)\neq 0 ⇒ sistema com única solução.
Para k=1 temos \det(A)=0 e o sistema é consistente com posto 2 ⇒ infinitas soluções (mais de uma).
Para k=4 e k=-4 temos \det(A)=0 e o sistema é inconsistente ⇒ nenhuma solução.