Determine os valores de k tal que o sistema em incógnitas x, y e z tem: (i) uma única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.
\left\{\begin{array}{l}k x+2 y+k z=1 \\\ 2 x+k y+8 z=8 \x+2 y+k z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em x,y,z\): \[\begin{cases} k x+2 y+k z=1,\\[2pt] 2 x+k y+8 z=8,\\[2pt] x+2 y+k z=1, \end{cases}
e pede para determinar os valores de (k] tais que o sistema tem:
(i) uma única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações do sistema, com o parâmetro k aparecendo nas posições indicadas.
  • O vetor do termo independente é \begin{pmatrix}1\\[2pt]8\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que vamos usar (explicando a ideia de forma didática): para um sistema linear com 3 incógnitas podemos estudar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & 2 & k\\[4pt] 2 & k & 8\\[4pt] 1 & 2 & k \end{pmatrix}
e o vetor de constantes b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]8\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (única).
    Explicação rápida: quando \det(A)\neq 0 as linhas/colunas de A são linearmente independentes e a transformação linear associada é bijetiva, logo existe solução única x=A^{-1}b.
  • Se \det(A)=0 então as linhas de A são linearmente dependentes e podem ocorrer dois casos:
    • sistema consistente com posto da matriz = posto da matriz aumentada <3 ⇒ infinitas soluções (mais de uma);
    • sistema inconsistente com posto da matriz aumentada > posto de A ⇒ nenhuma solução.
Portanto primeiro calculamos \det(A). Se ele for zero, investigamos a consistência por redução de linhas (rank da matriz e da matriz aumentada).]

Passo 3

Cálculo passo a passo do determinante \det(A).
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) = k\cdot\det\begin{pmatrix}k & 8\\[4pt]2 & k\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]1 & k\end{pmatrix} + k\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}k & 8\\[4pt]2 & k\end{pmatrix}=k^2-16, \qquad \det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]1 & k\end{pmatrix}=2k-8,
\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=4-k.
Substituindo:
\det(A)=k\,(k^2-16)-2(2k-8)+k(4-k).
Agora simplificar passo a passo:
k(k^2-16)=k^3-16k,
-2(2k-8)=-4k+16,
k(4-k)=4k-k^2.
Somando:
\det(A)=k^3-16k-4k+16+4k-k^2 = k^3-k^2-16k+16.
Fatorando k^3-k^2-16k+16. Testando raízes inteiras, k=1 anula o polinômio, então dividimos por (k-1) e obtemos
\det(A)=(k-1)(k^2-16)=(k-1)(k-4)(k+4).]

Passo 4

Conclusão imediata sobre existência única:
  • Se \det(A)\neq 0, isto é, se k\notin\{-4,1,4\}, o sistema tem exatamente uma solução (única). Isso resolve o item (i).
Agora resta analisar os casos k=1, k=4 e k=-4, onde \det(A)=0.

Passo 5

Caso k=1\). Substituindo \(k=1\) no sistema obtemos \[\begin{cases} 1\cdot x+2y+1\cdot z=1,\\[2pt] 2x+1\cdot y+8z=8,\\[2pt] x+2y+1\cdot z=1. \end{cases}
Observe que a primeira e a terceira equações são idênticas. Vamos reduzir por linhas para ver o posto e a consistência.
Matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 8 & 8\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)
Efetuando R_2\leftarrow R_2-2R_1\] e \(R_3\leftarrow R_3-R_1 obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 6 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Aqui a última linha é nula (0=0) e não há contradição. O posto da matriz de coeficientes é 2 e o posto da matriz aumentada também é 2. Como o posto é menor que o número de incógnitas ( 2<3), o sistema é consistente e tem infinitas soluções (mais de uma). Portanto para k=1 o sistema tem mais de uma solução.
(Poderíamos expressar as soluções em função de um parâmetro: por exemplo tomar z=t, resolver as duas equações independentes e obter famílias de soluções, mas aqui basta a classificação.)]

Passo 6

Caso k=4\). Substituindo \(k=4\) no sistema: \[\begin{cases} 4x+2y+4z=1,\\[2pt] 2x+4y+8z=8,\\[2pt] x+2y+4z=1. \end{cases}
Matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 8 & 8\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right).
Troque R_1\] com \(R_3 para pivô mais simples:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 8 & 8\\[4pt] 4 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right).
Agora R_2\leftarrow R_2-2R_1 R_2=[0\\\ 0\\\ 0\mid 6] e R_3\leftarrow R_3-4R_1 R_3=[0\\\ -6\\\ -12\mid -3]. A linha R_2 tornou-se [0\\\ 0\\\ 0\mid 6], ou seja, a igualdade 0=6, uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente: o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes. Conclusão: para k=4 não há solução.]

Passo 7

Caso k=-4\). Substituindo \(k=-4\) no sistema: \[\begin{cases} -4x+2y-4z=1,\\[2pt] 2x-4y+8z=8,\\[2pt] x+2y-4z=1. \end{cases}
Matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|c} -4 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 2 & -4 & 8 & 8\\[4pt] 1 & 2 & -4 & 1 \end{array}\right).
Troque R_1\] com \(R_3 para pivô 1:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 2 & -4 & 8 & 8\\[4pt] -4 & 2 & -4 & 1 \end{array}\right).
Fazendo R_2\leftarrow R_2-2R_1 obtemos R_2=[0\\\ -8\\\ 16\mid 6]. Fazendo R_3\leftarrow R_3+4R_1 obtemos R_3=[0\\\ 10\\\ -20\mid 5].
Agora note que os vetores de coeficientes das linhas R_2 e R_3 são múltiplos um do outro: [0\\\ 10\\\ -20]= -\tfrac{5}{4}[0\\\ -8\\\ 16]. Porém os termos independentes não satisfazem a mesma relação: 5\neq -\tfrac{5}{4}\cdot 6. Uma combinação linear das linhas de coeficientes que dá zero produz uma combinação que dá 50 no termo independente (ver demonstração: 5\cdot R_2 +4\cdot R_3 [0\\\ 0\\\ 0\mid 50]), isto é, uma contradição 0=50. Portanto o sistema é inconsistente para k=-4: não há soluções.]

Passo 8

Resumo lógico:
  • Para k\notin\{-4,1,4\} temos \det(A)\neq 0 ⇒ sistema com única solução.
  • Para k=1 temos \det(A)=0 e o sistema é consistente com posto 2 ⇒ infinitas soluções (mais de uma).
  • Para k=4 e k=-4 temos \det(A)=0 e o sistema é inconsistente ⇒ nenhuma solução.

Resposta

(i) Uma única solução: k\notin\{-4,1,4\}
(ii) Nenhuma solução: k\in\{-4,4\}
(iii) Mais de uma solução: k=1

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