Ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede um limitante superior para o erro ao aproximar a soma da série infinita
sumn=1^infty(-1)^n+1n(n+1)^2
pela soma dos quatro primeiros termos. O conteúdo que vamos usar é o Critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e que tendem a zero), que diz que o resto RN após N termos satisfaz
|RN|<= aN+1,
onde an=n(n+1)^2 é o termo positivo associado.

Passo 2

Mostramos que os termos em módulo
an=n(n+1)^2
são positivos, decrescentes e tendem a zero. De fato, para n>=1:
  1. an>0.
  2. Comparando an e an+1:
an+1=n+1(n+2)^2 e an=n(n+1)^2,
fazendo a divisão
an+1an =(n+1)(n+1)^2n,(n+2)^2 =(n+1)^3n,(n+2)^2 <1 (para n>=1),
logo an+1<an.
3. limntoinftyan=limntoinftyn(n+1)^2=0

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, o resto R4 ao somar só até n=4 satisfaz
|R4|<= a5

Passo 4

Calculamos
a5=5(5+1)^2=536

Resposta

O erro ao aproximar a série pela soma dos quatro primeiros termos é, em módulo, no máximo
536

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